空间向量的标准正交分解与坐标表示、空间向量基本定理课件（北师大版选修2-1）.pptVIP

8．若a，b，c是空间的一个基底．试判断a＋b，b＋c，c＋a 能否作为该空间的一个基底． 1．空间任一点P的坐标的确定：过P作面xOy的垂线，垂足为P′.在平面xOy中，过P′分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，则|x|＝|P′C|，|y|＝|AP′|，|z|＝|PP′|.　 2．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，基底中的三个向量e1，e2，e3都不是0. 3．空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯一表示． 4．点A(a，b，c)关于x轴、y轴、z轴对称点的坐标分别为(a，－b，－c)、(－a，b，－c)、(－a，－b，c)；它关于xOy面、xOz面、yOz面、原点对称点的坐标分别为(a，b，－c)、(a，－b，c)、(－a，b，c)、(－a，－b，－c)． * 第二章 §3 3.1 3.2 理解 教材新知 把握 热点考向 应用创新演练 知识点一 知识点二 考点一 考点二 考点三 3．1 3.2　空间向量的标准正交分解与坐标表示　 空间向量基本定理 学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李 得知：面试地点由此向东10米，后向南15米，然后乘5号电梯 到位于6楼的2号学术报告厅参加面试．设e1是向东的单位向 量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量． 问题1：e1，e2，e3有什么关系？ 提示：两两垂直． 问题2：假定每层楼高为3米，请把面试地点用向量p表示． 提示：p＝10e1＋15e2＋15e3. 标准正交基与向量坐标 (1)标准正交基： 在给定的空间直角坐标系中，x轴， y轴，z轴正方向的 i，j，k叫 做标准正交基． (2)标准正交分解： 设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝ ，叫做a的标准正交分解． 单位向量 xi＋yj＋zk (3)向量的坐标表示： 在a的标准正交分解中三元有序实数 叫做空间向量a的坐标，a＝ 叫作向量a的坐标表示． (4)向量坐标与投影： ①i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么：a·i ＝ ，a·j＝ ，a·k＝ .把x，y，z分别称为向量a在x轴，y轴，z轴正方向上的投影． ②向量的坐标等于它在 上的投影． ③一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝ 为向量a在向量b上的投影. (x，y，z) 坐标轴正方向 x y z (x，y，z) |a|cos〈a，b〉 　　空间中任给三个向量a，b，c. 　　问题1：什么情况下，向量a，b，c可以作为一个基底？ 　　提示：它们不共面时． 　　问题2：若a，b，c是基底，则空间任一向量v都可以由a，b，c表示吗？ 　　提示：可以． 如果向量e1、e2、e3是空间三个 的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3使得a＝ . 其中e1、e2、e3叫作这个空间的一个 ． 表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解． 不共面 基底 λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底． [一点通] 　　 (1)建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐标的前提，应充分利用已知图形的特点，寻找三条两两垂直的直线，并分别为x，y，z轴进行建系． (2)若表示向量 的坐标，只要写出向量 关于i，j，k的标准正 交分解式，即可得坐标． 答案：A [一点通]　 (1)空间向量基本定