空间向量运算的坐标表示课件（北师大版选修2-1）.ppt

* 第二章 §3 3.3 理解 教材新知 把握 热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 3．3　空间向量运算的坐标表示 问题2：驾驶室门受到的合力有多大？ 空间向量的坐标运算： 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)则： (1)a＋b＝ ； (2)a－b＝ ； (3)λa＝ ； (4)a·b＝ ； (5)a∥b?a＝λb? ， ， (λ∈R)； (6)a⊥b?a·b＝0? ； (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) x1＝λx2 (x1－x2，y1－y2，z1－z2) (λx1，λy1，λz1) x1x2＋y1y2＋z1z2 y1＝λy2 z1＝λz2 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 1．空间向量的加、减、数乘的坐标运算仍是坐标，数量积的运算是实数． 2．利用空间向量的坐标可以解决向量的模、夹角、向量的平行与垂直等问题． [例1]　已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,2,8)，求2a＋3b,3a－2b，a·b. [思路点拨]　空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和． [精解详析]　2a＋3b＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)， 3a－2b＝(9,15，－12)－(4,4,16)＝(5,11，－28)， a·b＝3×2＋5×2－4×8＝－16. [一点通]　空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和． 1．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)， 那么向量a－b＋2c等于 (　　) A．(0,1,2)　　　　　　　　 B．(4，－5,5) C．(－4,8，－5) D．(2，－5,4) 解析：a－b＋2c＝(1－1－2×2,0＋2＋6，－1－2－2)＝(－4,8，－5)． 答案：C 3．已知向量a＝(1，－2,4)，求同时满足以下三个条件的 向量c：①a·c＝0；②|c|＝10；③c与向量b＝(1,0,0)垂直． [例2]　如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标． [思路点拨]　写出A，B，C1的坐标，设出M的坐标，利用条件BM⊥AC1及M在AC1上建立方程组，求解． [一点通]　用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用： (1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，(b为非零向量)，则a∥b?x1＝λx2，且y1＝λy2且z1＝λz2(λ∈R)．若b＝0时，必有a∥b，必要时应对b是否为0进行讨论． (2)a⊥b?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 4．已知a＝(1，－5,6)，b＝(0,6,5)，则a与b (　　) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 解析：a·b＝0－30＋30＝0，∴a⊥b. 答案：A 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是DC的中点，求证： AD⊥D1F. 6．已知a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满 足下列条件时，实数x的值． (1)a∥b；(2)a⊥b. 解：(1)①当x＝0时，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b， ∴x＝0，满足a∥b； ②当x＝1时，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)， 此时a不平行b，∴x≠1. ③当x≠0且x≠1时， [一点通]　 在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证