空间向量的运算课件（北师大版选修2-1）.ppt

[例3]　(12分)已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 7．若|a|＝|b|＝4，a·b＝3，则cos〈a，b〉＝________. 1．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止． 2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量共线定理；解决垂直问题一般可转化为求向量的数量积为零． 3．灵活地应用向量的数量积公式是解决空间求模、夹角的关键． * 第二章 §2 理解 教材新知 把握 热点考向 应用创新演练 知识点一 知识点二 考点一 考点二 考点三 知识点三 在射击时，为保证准确命中目标，要考虑风速、温度等因素．其中风速对射击的精准度影响最大．如某人向正北100 m远处的目标射击，风速为西风1 m/s. 问题1：射手能否直接瞄准目标射击？ 提示：不能． 问题2：射手应怎样瞄准目标？ 提示：瞄准方向为北偏西一定角度． 问题3：问题2的原因是什么？ 提示：在射击过程中，子弹运行的实际位移是子弹与风位移的合成． 问题4：空间向量的加法与平面向量类似吗？ 提示：类似，满足平行四边形法则． 相等 OC (2)空间向量的减法： a与b的差定义为a＋(－b)，记作 ，其中 是b的相反向量． (3)空间向量加减法的运算律： ①结合律：(a＋b)＋c＝ ． ②交换律：a＋b＝ . a－b －b a＋(b＋c) b＋a a为一空间向量． 问题1：空间向量a与一个实数λ的乘积为λa，λa是向量吗？ 提示：是． 问题2：当λ＝0时，λa＝0对吗？ 提示：不对，应为0. 问题3：若a与λa方向相反， λ的取值范围是什么？ 提示：(－∞，0)． 空间向量的数乘 (1)定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个 ，记作 . (2)向量λa与a的关系： 向量 λ的范围 方向关系 模的关系 λ＞0 方向 λa的模是a的模的 倍 λ＝0 λa＝ ，其方向是 λ＜0 方向 相同 0 任意的 相反 |λ| λa (3)空间向量的数乘运算律： ①交换律：λa＝ (λ∈R)； ②分配律：λ(a＋b)＝ ， (λ＋μ)a＝λa＋μ a(λ∈R，μ∈R)； ③结合律：(λμ)a＝ (λ∈R，μ∈R)． aλ λa＋λb λ(μa) (4)定理：空间两个向量a与b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数λ，使得 . a＝λb 空间向量的数量积 (1)空间两个向量a和b的数量积是一个 ，等于|a||b|cos〈a，b〉，记作 . (2)运算律： ①交换律： ； ②分配律： ； ③λ(a·b)＝ 　(λ∈R)． a·b a·b＝b·a a·(b＋c)＝a·b＋a·c (λa)·b 数 a·b＝0 同 与平面向量类似，空间向量的加减、数乘、数量积运算有如下特点 1．空间向量的加减法满足平行四边形和三角形法则，结果仍是一个向量． 2．空间向量的数乘运算，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍． 3．两向量共线，两向量所在的直线不一定重合，也可能平行． 4．空间向量数量积运算的结果是一个实数． [一点通]　空间向量的线性运算即为向量的加减、数乘运算．在进行向量的线性运算时，应注意结合图形的特点，利用三角形法则、平行四边形法则及数乘运算的运算律来进行化简、计算．要特别注意把某些向量平移后转化为同一平面内进行相关计算． 答案：A [一点通]　 (1)判定