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欧拉图和哈密尔顿图-精.ppt

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实例 哈密顿图 实例 实例 已知有关人员a, b, c, d, e, f, g 的有关信息 a:说英语; ???b:说英语或西班牙语; c;说英语,意大利语和俄语; d:说日语和西班牙语 e:说德语和意大利语; f:说法语、日语和俄语; g:说法语和德语. 试问:上述7人中是否任意两人都能交谈? (可借助其余5人中组成的译员链帮助) 解一 解二 a b c d e f g 英 英 西 日 法 德 意 如果题目改为:试问这7个人应如何安排座位, 才能使每个人都能与他身边的人交谈? 解:用结点表示人,用边表示连接的两个人能说讲一种语言,够造出哈密顿图如右上图所示。 a:说英语; b:说英语或西班牙语; c;说英语,意大利 语和俄语; d:说日语和西班牙语 e:说德语和意大利语; f:说法语、日语和俄语; g:说法语和德语. 判断H-图 任何一个H_图都可以看成是一个基本回路,再加上其他若干条边 H_图的充分条件和必要条件均有,但尚无充要条件 H_图的必要条件 G是H_图,则对VG的任意非空真子集S (?S, ??S?V,均有 W(G-S)?|S| 其中W(G)是G的分支数 必要条件的应用 [证] 设C是G的H_回路 ∵ W(C-S)?|S| (从一个基本回路上删除k个顶点, 最多形成k个连通分支) 又G – S 与C – S的点相同,而EG-S ? E C –S ∴ W(G-S)?|S| 例 图中A类点仅与B类点连 |A|=|{v1,v3,v7}|=3, |B|=|{v2,v4,v5 ,v6 ,v8}|=5 选S= {v1,v3,v7}, |S|=3 则W(G-S)=5 ? |S|=3 必要条件的局限性 ——只能判定一个图不是哈密尔顿图 下图(Petersen图)满足上述必要条件。 Petersen图不是H_图。 H-通路/半哈密尔顿图 充分条件 [定理]简单G有n(n ?2)个节点,若G中任二点度数和大于等于n-1,则G有H-通路 例.有H_通路,无H_回路 设 S= {v1,v4}, |S|=2 W(G-S)=3 ? 2 = |S| H-图的 充分条件 [定理]简单G有n个结点,n?3,若G中任二点度数和大于等于n,则G有H-图 例. N边形, n?5 任一对结点度数和=45 但它显然是H_图 例. Kn是完全图 d(vi)+d(vj)=(n-1)+(n-1)=2n-2 ?n (n?3) ∴ Kn是H-图 只要图中边足够多,G易为H_图 只要图中成对节点度数足够大,G易为H_图 间接充要条件 [引理] 设 G中u,v不相邻,且 d(u)+d(v) ?n,则 G+{(u,v)}是H_图的充要条件是G是H_图 定义闭合图C(G): 在G中反复增添结点度数和?|VG|的不相邻的节点对上的边,直至不能再添,得到的图为闭合图C(G) 图G的闭合图是唯一的 例 加成了完全图, 故是H_图 “如果只在满足 d(u)+d(v) ? n 的 u,v 之间加边——构造闭合图,图的哈密尔顿性质不会改变” 棋盘上的哈密尔顿回路问题 在4?4或5?5的缩小了的国际象棋棋盘上,马(Knight)不可能从某一格开始,跳过每个格子一次,并返回起点。 货郎担/旅行推销员(TSP)问题: 在一个赋权的完全图中,找出一个具有最小权的H_回路,也即回路边的权之和最小 对该赋权图上的边,满足三角不等式(距离不等式) W(a,b) ? W(a,c) + W(c,b) 数学模型 构造无向带权图G, VG中的元素对应于每个城市, EG中每个元素对应于城市之间的道路,道路长度用相应边的权表示。 则问题的解对应于G中包含所有边的权最小的哈密尔顿回路。 G是带权完全图,总共有n!/2条哈密尔顿回路。因此,问题是如何从这n!/2条中找出最短的一条 eg:含20个顶点的完全图中不同的哈密尔顿回路有约6000万亿条-

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