第17课二次型及其标准形.ppt

例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。 而它们所对应的标准正交的特征向量为 （4） 写出 2. 配方法 令 例3 用配方法化二次型 令 所用的可逆线性变换为 * 第六章 二次型及其标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵 §6.2 化二次型为标准型 §6.1 二次型及其矩阵表示 §5.5 二次型其次标准形 引言 判别下面方程的几何图形是什么？ 作旋转变换 代入(1)左边，化为： 见下图 称为n维(或n元)的二次型. 定义 含有n个变量 的二次齐次函数 关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！ 例如： 都是二次型。 不是二次型。 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形。 为二次型的标准形。 取 则 则（1）式可以表示为 二次型用和号表示 令 则 其中 为对称矩阵。 二次型的矩阵表示（重点） 注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。 2、其对角线上的元素 恰好是 的系数。 3、 的系数的一半分给 可保证 例如：二次型 注：二次型 对称矩阵 把对称矩阵 称为二次型 的矩阵 也把二次型 称为对称矩阵 的二次型 对称矩阵 的秩称为二次型 的秩 二次型 定义2： 例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。 解 问： 在二次型 中,如不限制 A对称, A唯一吗? 定义 只含平方项的二次型 称为二次型的标准形(或法式)。 平方项系数只在 中取值的标准形 (注：这里规范形要求系数为1的项排 在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。) 称为二次型的规范形。 目的： 对给定的二次型 找可逆的线性变换(坐标变换)： 代入(1)式，使之成为标准形 称上面过程为化二次型为标准形。 第六章 二次型及其标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵 §6.2 化二次型为标准型 §6.1 二次型及其矩阵表示 简记 设 若 一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 为可逆线性变换。 当C 是可逆矩阵时, 称 对于二次型，我们讨论的主要问题是： 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 即二次型 经过可逆线性变换 使得 为什么研究可逆 的变换？ 即经过可逆线性变换 可化为 矩阵的合同： 证明 定理 设A为对称矩阵，且A与B合同，则 注：合同仍然是一种等价关系 矩阵合同的性质： (1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性 记作 二. 化二次型为标准形 正交变换法（重点） 配方法 目标： 问题转化为： 回忆： 此结论用于二次型 所以， 主轴定理 (P191 定理6.2.1) 1. 正交变换法 对二次型 存在正交变换 ，使 其中 为 的特征值。 其中P 的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交 的单位特征向量。 定理： 解（1）写出二次型 f 的矩阵 (2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量 (3) 写出正交变换 取正交矩阵 则得所欲求的正交变换 即 的标准型。 易知经上述正交变换 后所得二次型的标准型 2. 解 二次型的矩阵为 3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化： 作正交变换 X=QY，则 注：正交变换化为标准形的优点： 在几何中，可以保持曲线 （曲面）的几何形状不变。 ⑴ 同时含有平方项 与交叉项 的情形。 例2 用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。 解： 二次型的标准形为 所求的可逆线性变换为 即 为标准形,并求出所作的可逆线性变换. 解 令 ⑵ 只含交叉项 的情形。 即 则二次型的标准形为