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引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 计算行列式时, 可先用行列式的性质将某一行(列)化为仅含1个非零元素, 再按此行(列)展开, 变为低一阶的行列式,如此继续下去, 直到化为三阶或二阶行列式. 定理 设 n 阶行列式 则 n 阶行列式 D 的值等于它的任意一行(列)的各元素 与其对应的代数余子式的乘积之和. 即 或 D = a1jA1j + a2jA2j +…+ anjAnj (j =1, 2, …, n) 将行列式D改写为 由行列式性质及引理，得 = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin . (i = 1, 2, …, n) 同理可证按列展开式成立. 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证 同理 解： 典型例子： 例* 计算 n 阶行列式 解 将Dn 按第一列展开 于是, 得递推公式 而由递推公式, 得 继续递推公式, 得 故 求第一行各元素的代数余子式之和 解：第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 范得蒙(Vandermonde)行列式 其中 证 用数学归纳法 (1) 当n=2时, 结论成立. (2) 设n-1阶范德蒙行列式成立, 证明n阶也成立. n-1阶范德蒙行列式 证毕. 小结 2.行列式按某行(列)展开降阶方法求行列式. 1.行列式的余子式与代数余子式的概念和计算方法. 思考题1 思考题1解答
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