第1课时 《曲线与方程》.ppt

数学是思维的体操 授课人： 赵大军 （1）求平分第一、三象限的直线上的点坐标满足的关系. 平分第一、三象限的直线 点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x-y=0） 得出关系 x-y=0 x y 0 （1） 上点的坐标都是方程x-y=0的解; （2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上; 曲线 条件 方程 分析特例归纳定义 曲线和方程之间有什么对应关系呢？ （2）函数 的图象是关于y轴对称的抛物线 这条抛物线的方程是 · 0 x y M 满足关系 （1）如果 是抛物线上的点，那么 一定是这个方程的解; （2）如果 是方程 的解，那么以它为坐标的点一定 在抛物线上; 分析特例归纳定义 （3）说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系 ①直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2; ②满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上; 结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2 0 x y 2 A 分析特例归纳定义 给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足 （1）曲线上的点坐标都是这个方程的解; （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点; 那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程, 这条曲线C叫做这个方程的曲线. 说明：1、曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形 f（x，y）=0 0 x y 概念呈现 2、两者间的关系： 点的坐标适合于此曲线的方程 即 如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点 在曲线C上的充要条件是 曲线上所有点的集合与 表示此曲线的方程的解集是一一对应关系. 点在曲线上 下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？ (1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线，方程为(x-y)(x+y)=0; (2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方程为x+ =0; (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集，方程为y= 。 1 0 x y -1 1 0 x y -1 1 -2 2 1 0 x y -1 1 -2 2 1 图3 概念辨析 例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=±k. M 例题展示 第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解； 证明已知曲线的方程的方法: 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上. 归 纳 步骤： 定义法 建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。 利用这两个概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成是满足某种条件的点的轨迹或集合，用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程F(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质。 在数学中，通过建立曲线方程，然后用方程的性质间接地研究曲线的性质的方法，叫做坐标法. 解析几何研究的主要问题： （1）据已知条件，求表示曲线的方程。（由曲线求方程） （2）通过曲线的方程，研究曲线的性质。（由方程来研究曲线） 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫解析几何. 目标就是要找x与y的等量关系式 确定曲线上的点满足的条件 归 纳 变式：已知等腰三角形底边的两个端点是Ａ (-1, -1) 、Ｂ(3,7) ，求第三个顶点C的轨迹方程． A B C 0 x y 轨迹方程为x+2y－7=0（x≠1）， 注：1、求得的轨迹方程要与动点 的轨迹一一对应,否则要“多退少补”,多余的点要剔除(用x,y的取值范围来限制),不足的点要补充. 轨迹为直线x+2y－7=0，且不过点（1,3）； 2、区别轨迹与轨迹方程. 例2、已知线段AB长为5，动点P到线段AB两端点的距离相等，求动点P的轨迹方程。 1、与例1相比，有什么显著的不同点？ 2、你准备如何建立坐标系，为什么？ 3、比较所求的轨迹方程有什么区别？ 从中得到什么体会? 你能说出它的轨迹吗？ （1）没有确定坐标系时，要求方程首先必须建立平面直角坐标系； （2）同一条曲线，在不同的坐标系中可能有不同的方程； （3）坐标系选取适当，可以使运算简单，所得的方程也比较简单。 坐标法求曲线（轨迹）方程的一般步骤 1.建系设点－－ 建立适当的直角坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任一点M的坐标； （如果题目中已确定坐标系就不必再建立） 2.列条件－－ 写出适合条件P的点M的集合P={M|p(M)} 3.条件坐标化－－用坐标表示条