第24讲圆的基本性质.ppt

第24讲　圆的基本性质 1．主要概念 (1)圆：平面上到__定点__的距离等于__定长__的所有点组成的图形叫做圆．__定点__叫圆心，__定长__叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O. (2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫__弧__，连接圆上任意两点的线段叫__弦__，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的__弦__． (3)圆心角：顶点在__圆心__，角的两边与圆相交的角叫圆心角． (4)圆周角：顶点在__圆上__，角的两边与圆相交的角叫圆周角． (5)等弧：在__同圆或等圆__中，能够完全__重合__的弧． 2．圆的有关性质 (1)圆的对称性 ①圆是__轴对称__图形，其对称轴是__过圆心的任意一条直线__． ②圆是__中心对称__图形，对称中心是__圆心__． ③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． (2)垂径定理及推论 垂径定理：垂直于弦的直径__平分弦__，并且__平分弦所对的两条弧__． 垂径定理的推论： ①平分弦(不是直径)的直径__垂直于弦__，并且__平分弦所对的两条弧__； ②弦的垂直平分线__经过圆心__，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． (3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论 ①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦__相等__． ②推论：在同圆或等圆中，如果两个__圆心角__、__两条弧__、__两条弦__、__两条弦心距__中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． (4)圆周角定理及推论 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一半__． 圆周角定理的推论 ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧__相等__． ②半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__；90°的圆周角所对的弦是__直径__． (5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径) ①点P在圆上?__d＝r__； ②点P在圆内?__dr__； ③点P在圆外?__dr__. (6)过三点的圆 ①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆． ②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边__垂直平分线__的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部． (7)圆的内接四边形 圆内接四边形的对角__互补__． 3．相关辅助线 1．(2014·朝阳)如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100 m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为__200__m. 2．(2014·辽阳)如图，点B，D，C是⊙A上的点，∠BDC＝130°，则∠BAC＝__130°__. 3．(2014·抚顺)如图，⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E，F，G，H，点P是上的一点，则tan∠EPF的值是__1__. 第1题图 第2题图 第3题图 4．(2014·辽宁)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC＝100°，那么∠B＝__50°__. 5．(2013·沈阳)如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是____. 第4题图 第5题图 圆周角与圆心角的关系 【例1】　(2014·山西)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为(B) A．30°　　B．40° C．50° D．80° 【点评】　当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等的弧把角联系起来． 1．(2014·临沂)如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为(B) A．25° B．50° C．60° D．80° 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【例2】　(2014·龙东)直径为10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，则弦AB所对的圆周角是__30°或150°__. 【点评】　在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性，这种题一题多解，必须分类讨论．本题中，弦所对的圆周角不是唯一的，圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，依据“圆内接四边形的对角互补”，这两个角互补． 点与圆的位置关系 【例3】　矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，P点在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是(C) A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内 C．点B在圆P内，点C在圆P