第2章 经典板理论的基本方程(Q).ppt

第2章 经典板理论的基本方程 1.1 极坐标系 1.1.1 经典方程1.1.2 方程的解1.2 椭圆坐标系  1.2.1 经典方程 1.2.2 方程的解1.3 直角坐标系 1.3.1 经典方程 2.3.2 方程的解1.4 斜交坐标系 1.4.1 经典方程 1.4.2 方程的解参考文献Leissa A W. Vibration of plates. NASA SP-160, 1969 第2章 经典板理论的基本方程 当 ?时，方程（2.34）的解为 横向剪力由下式给出 * Q:为什么要在不同坐标系下建立板的经典方程？ 均质等厚板弯曲横向位移w的经典运动微分方程为 （z2.1） 其中 D为弯曲刚度 E为杨氏模量，h是板的厚度，n 为泊松比，r 为板的质量面密度。?4 = ?2?2，?2为拉普拉斯算子。 当自由振动时，运动可假设为 当自由振动时，运动可假设为w为圆频率W只是位置的函数。将（2.3）代入（2.1），得 其中 将此方程（2.4）分解为因子方程会更方便 （z2.2） （z2.5） （z2.4） （z2.6） （z2.3） Q:为什么要当自由振动时，运动可假设为2.3？ Q:k在波的传播中叫做什么概念？ 第2章 经典板理论的基本方程 由线性微分方程理论，方程的全解可由下列方程的解叠加而得 （z2.7） 对于无质量弹性支承的板（或弹性基础上的板），方程（2.1）变为 Ｋ为支承刚度，量纲为单位接触面积、单位挠度的力。（2.8）的解仍可设为（2.3），但（2.5）中的k变为 注意，以上所有方程都是与坐标无关的。 （z2.8） （z2.9） Q:线性微分方程的具体哪个理论？ Q：2.3中不是有x,y等直角坐标系的坐标吗。那为何上述方程不是以上所有方程都是与坐标无关的？ 第2章 经典板理论的基本方程 1.1 极坐标系 极坐标系中一点P示于图2.1, 在极坐标中的Laplacian 算子表达式为 用位移表示的弯矩和扭矩为 横向剪力由下式给出 （z2.11） （z2.10） （z2.12） 图2.1 边界反作用剪力表达式为 （z2.13） 第2章 经典板理论的基本方程 板的应变能为 （z2.14） 其中 dA = r dr /dq? 。 1.1.2 方程的解 将极坐标形式的振型函数W(r, q)展成q 的Fourier 级数 （z2.15） （z2.16） (2.15)代入（2.7），得关于Wn(r)的两个微分方程 关于的两个微分方程与以上方程完全相同 第2章 经典板理论的基本方程 方程（2.16）具有Bessel方程的形式，其解为 （z2.17） Jn、Yn 是第一类和第二类Bessel函数，In、Kn 是第一类和第二类变型Bessel函数，系数An，…，Dn决定模态形状，由边界条件确定。因此极坐标形式下，方程（2.4）的通解为 （z2.18） Q：极坐标系描述最适用于分析何种形状结构？给出一个实际例子. 第2章 经典板理论的基本方程 1.2 椭圆坐标系 椭圆坐标示于图2.2，与直角坐标x，y的关系为 其中2c为内焦距。分离实部和虚部得 1.2.1 经典方程 （z2.20） （z2.19） （z2.21） 图2.1 用位移表示的弯矩和扭矩为 （z2.22） 椭圆坐标中Laplacian算子的表达式为 第2章 经典板理论的基本方程 1.2.2 方程的解 （z2.23） 已经证明椭圆坐标下，方程（2.7）的解由两部分组成 其中 是m阶Mathieu函数和修正Mathieu函数 为积分常数。 （z2.24） （z2.16） 方程（2.7）的全解为 （z2.25） 第2章 经典板理论的基本方程 对于包含坐标原点的固体域，正则性条件要求将（2.24）式中的一半项丢弃，全解变为 （z2.26） Q：椭圆坐标系描述最适用于分析何种形状结构？给出一个实际例子. 第2章 经典板理论的基本方程 1.3 直角坐标系 直角坐标系中的一点P示于图2.3 1.3.1 经典方程 用位移表示的弯矩和扭矩为 直角坐标系中Laplacian算子为 （z2.28） （z2.27） （z2.29） 图2.3 边界反作用剪力表达式为 （z2.30） 横向剪力由下式给出 （z2.31） 第2章 经典板理论的基本方程 板的应变能为 （z2.32） 其中dA = dx dy 2.3.2 方程的解 直角坐标下，方程（1.4）的一般解可将W(x, y)对变量x或y展成Fourier级数得到。若对变量x展成Fourier级数： (2.33)代入（2.7），得关于Ym(x, y)的两个微分方程 （z2