高中数学圆的方程.ppt

第三节　圆的方程 1．确定圆的方程必须有几个独立条件？ 【提示】　不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是什么？ 【提示】　充要条件是D2＋E2－4F＞0. 【答案】　D 【答案】　D 3．(2012·辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(　　) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 【解析】　因为圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. 【答案】　C 4．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　) A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1 【解析】　因为点(1，1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1. 【答案】　A 5．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________． 【答案】　(x－2)2＋y2＝10 已知圆心在直线y＝－4x，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，求圆的方程． 【思路点拨】　(1)设圆的标准方程，待定系数法求解；(2)利用圆的几何性质求圆心和半径． 求圆的方程有两种方法： (1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解． (2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程． 若一三角形三边所在的直线分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，则能覆盖此三角形且面积最小的圆的方程是________． 【思路点拨】　根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解． 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，点O是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹． 1．本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点，因此在点M、O、N三点共线时，点P是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点． 2．求与圆有关的轨迹问题的常用方法． (1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式． (2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程． (3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可用Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程． 已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2，3)作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程． 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0. 求圆的方程主要是待定系数法，一般步骤是： ①根据题意，选择标准方程或一般方程． ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组． ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程． 1.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法有： (1)直接法：直接根据条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线的定义列出方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列出方程． (4)代入法：由动点与已知点的关系列出方程． 从近两年高考看，圆的方程的求法每年均有涉及，是高考的必考点，命题形式主要有两大类，一是以选择题、填空题的形式考查圆的定义及标准方程的求法，另一类是与直线、向量、圆锥曲线综合命题，注重数形结合思想及圆的几何性质的考查，在求解与圆有关的解答题时，应注意解题的规范化． 规范解答之十一　利用待定系数法求圆的方程 (12分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值． 【解题程序】　第一步：求出二次函数图象与坐标轴的三个交点坐标； 第二步：求出圆的标准方程； 第三步：联立直线与圆的方程，设出点A、B坐标； 第四步：结合韦达定理，由条件OA⊥OB列出关系式，求出a值． 易错提示：(1)第(1)小题中，求过三点的圆的方程时，选择方法不恰当，造成构建的方程组过于复杂，导致求解失误． (2)第(2)小题中，不能充分利用一元二次方程根与系数的关系，由条件列出等式． 防范措施：(1)若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的