高中数学直接证明与间接证明.ppt

第六节　直接证明与间接证明;1．直接证明;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;2.间接证明 反证法：假设原命题 ___________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出_______．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．;1．综合法和分析法的区别和联系是什么？ 【提示】　综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．其逐步推理实际上是寻求它的充分条件．在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用．;2．反证法的关键是推出矛盾，所谓矛盾主要是指什么？ 【提示】　反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． ;1．(人教A版教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　) A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 【答案】　B;【答案】　C;【答案】　D;【答案】　－b;5．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质： ①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝________． 【解析】　由(n＋1)*1＝n*1＋1，得 n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2 ＝…＝1*1＋(n－1)＝1＋n－1＝n. 【答案】　n; 定义在x∈[0，1]上的函数f(x)．若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由． 【思路点拨】　根据理想函数的定义加以判定证明．;【尝试解答】　g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函数． 当x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1时， f(x1＋x2)＝2x1＋x2－1， f(x1)＋f(x2)＝2x1＋2x2－2， ∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)] ＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1 ＝2x1(2x2－1)－(2x2－1) ＝(2x2－1)(2x1－1)， ∵x1≥0，x2≥0，;∴2x1－1≥0，2x2－1≥0， ∴f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]≥0， 则f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)． 故函数g(x)＝2x－1(x∈[0，1])是理想函数． ; 1．综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性． 2．综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．;(2012·湖南高考改编)已知函数f(x)＝rx－xr＋(1－r)，其中x＞0，r为有理数． (1)若0＜r＜1，求函数f(x)的最小值． (2)试用(1)的结论证明命题： 设a1＞0，a2＞0，b1，b2为正有理数，若b1＋b2＝1，则a1b1·a2b2≤a1b1＋a2b2. 【解】　(1)f′(x)＝r－rxr－1＝r(1－xr－1)， 令f′(x)＝0，得x＝1，;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;【思路点拨】　从条件难以向结论转化．转换角度从结论出发，寻找使结论成立的充分条件．;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.; 1．对于无理不等式，常用分析法证明．通过反推，逐步寻找结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键． 2．对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以证明，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，优点是利于思考，因为它的方向明确，思路自然，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁．;【证明】　∵m＞0，∴1＋m＞0， 所以要证原不等式成立，只需证明， (a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即证m(