高中数学课件第四章第三节《平面向量的数量积及平面向量应用举例》.pptVIP

若将例题已知条件改为“已知a＝(3，－4)，b＝(2,1)”，试解决上述问题. 解：(1)∵a＝(3，－4)，b＝(2,1)， ∴3a－2b＝(9，－12)－(4,2)＝(5，－14)， a－2b＝(3，－4)－(4,2)＝(－1，－6). ∴(3a－2b)·(a－2b)＝(5，－14)·(－1，－6) ＝5×(－1)＋(－14)×(－6) ＝－5＋84 ＝79. (2)∵a＋b＝(3，－4)＋(2,1)＝(5，－3)， ∴|a＋b|＝ 　　 已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为θ ，则 (1)a·b＞0?0°＜θ＜90°； (2)a·b＝0? θ ＝90°； (3)a·b＜0?90°＜ θ ＜180°. [特别警示]　在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线. 已知|a|＝1，a·b＝ ，(a－b)·(a＋b)＝ ， 求：(1)a与b的夹角； (2)a－b与a＋b的夹角的余弦值. [思路点拨] [课堂笔记]　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝ ， ∴|a|2－|b|2＝ ， 又∵|a|＝1，∴|b|＝ 设a与b的夹角为θ，则cosθ ∴ θ ＝45°. (2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2× ∴|a－b|＝ . (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2× ∴|a＋b|＝ ，设a－b与a＋b的夹角为α， 则cosα＝ 1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共线)的充要条件： a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0). 2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上， ＝ (－2，m)， ＝(n,1)， ＝(5，－1)，且 ，求实数m，n的值. [思路点拨] [课堂笔记]　由于C、A、B三点在同一条直线上， 则 而 ＝(7，－1－m)， ＝(n＋2,1－m)， ∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0， ① 又∵ ∴－2n＋m＝0， ② 联立①②解得 ? 　 平面向量的数量积是高考重点考查的内容，直接考查的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平行、垂直，向量的夹角与模等，主要以选择题、填空题的形式出现.而近几年平面向量与函数、解析几何、三角函数相结合的题目在高考试题中屡见不鲜，并成为高考对本节内容考查的一个新方向. [考题印证] (2009·湖南高考)(12分)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2). (1)若a∥b，求tanθ的值； (2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值. 【解】　(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝ ┄┄┄┄(4分) (2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5， 所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5. 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋ )＝ .┄┄┄┄┄┄┄(8分) 又由0＜θ＜π知， ＜2θ＋ ＜ ，所以2θ＋ ＝ ，或2θ＋ ＝ .因此θ＝ ，或θ＝ .┄┄┄(12分) [自主体验] 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2). (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； (2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝ ，求△ABC的面积. 解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB， 即a· ＝b· ，其中R是三角形ABC外接圆半径， ∴a＝b. ∴△ABC为等腰三角形. (2)由