第32讲图形的相似.ppt

数学 第七章　图形的变化 第32讲　图形的相似 3．平行线分线段成比例定理 (1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成__比例__； (2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成__比例__； (3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成__比例__，那么这条直线平行于三角形的第三边； (4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 4．相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做__相似三角形__． 相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的__相似比__． 5．相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似； (2)两角对应相等，两三角形相似； (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (4)三边对应成比例，两三角形相似； (5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； (6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 6．相似三角形性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 7．射影定理：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论． (1)AC2＝AD·AB； (2)BC2＝BD·AB； (3)CD2＝AD·BD； (4)AC2∶BC2＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC. 8．相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角__相等__，对应边__成比例__． (2)相似多边形周长之比等于__相似比__，面积之比等于__相似比的平方__． 9．位似图形 (1)概念：如果两个多边形不仅__相似__，而且对应顶点的连线相交于__一点__，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做__位似中心__． (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比__． 2．(2012·盘锦)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为4，6，x的三个正方形，则x的值为(C) A．24 B．12 C．10 D．8 第1题图 第2题图 3．(2014·葫芦岛)如图，AE，BD交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D，若AC＝4，AB＝3，CD＝2，则CE＝__2.5__. 4．(2013·本溪)如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点P是边AB上一点，若△ APD与△BPC相似，则满足条件的点P有__3__个． 第4题图 第3题图 5．(2014·沈阳)如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E，若DE＝5，则BC的长为(C) A．7.5 B．10 C．15 D．20 比例的基本性质、黄金分割 三角形相似的性质及判定 【例2】　(2014·宜昌)已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE＝3EB. (1)求证：△ADE∽△CDF； (2)当CF∶FB＝1∶2时，求⊙O与?ABCD的面积之比． 2．(2014·玉林)如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕点M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP. (1)求证：四边形BMNP是平行四边形； (2)线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由． 相似三角形综合问题 (1)证明：连OC，如图，∵ED⊥AB，∴∠FBG＋∠FGB＝90°，又∵PC＝PG，∴∠1＝∠2，而∠2＝∠FGB，∠4＝∠FBG，∴∠1＋∠4＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线 (2)证明：连OG，如图，∵BG2＝BF·BO，即BG∶BO＝BF∶BG，而∠FBG＝∠GBO，∴△BGO∽△BFG，∴∠OGB＝∠BFG＝90°，即OG⊥BG，∴BG＝CG，即点G是BC的中点 (3)解：连OE，如图，∵ED⊥AB，∴FE＝FD，而AB＝10，ED＝4，∴EF＝2，OE＝5，在Rt△OEF中，OF＝＝＝1，∴BF＝5－1＝4，∵BG2＝BF·BO，∴BG2＝BF·BO＝4×5，∴BG＝2 【点评】　本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用． 3．(2014·绍兴)课本中有一道作业题： 有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正