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第五章 李雅普诺夫稳定性分析 第五章 李雅普诺夫稳定性分析 5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5. 3 李雅普诺夫第二法(直接法) 2. 定理9-11 (定常系统大范围渐近稳定判别定理1) 3. 定理9-12 (定常系统大范围渐近稳定判别定理2) 例5-4设系统状态方程为 5. 4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析(※) 定理9-14 ※ 线性定常系统 例9-41 （※） 设线性定常连续系统状态方程为 例5-6设系统为 例5-6（P509 例9-42）设系统为 第六章 线性定常系统的反馈结构及状态观测器 6.1 常用反馈结构及其对系统特性的影响 一 . 两种常用反馈结构 2) 将输出量反馈至状态微分 3. 状态反馈结构与输出反馈结构比较 1. 对系统可控性和可观测性的影响 例：给定系统 参考题：设不完全可控系统（A, B , C）为 习题9-30 被控系统（A, B, C）为 方法二： ① ② ③ ④ ⑤ 6.4 分离特性 现在要讨论的是用全维状态观测器提供的估计状态 代替真实状态x来实现状态反馈，其闭环特性与利用真实状态进行反馈的情况会有什么区别？ 当观测器被引入系统以后，状态反馈系统部分是否会改变已经设计好的观测器的闭环极点配置，观测器输出反馈阵H是否需要重新设计？ 考虑n维的线性定常系统 假设系统是可观测的，则可设计全维状态观测器 得到真实状态 x 的估计值 ，引入状态反馈 此时状态反馈子系统的状态空间描述为： 全维状态观测器的状态空间描述为： 故组合系统的状态空间描述为： 由此可见，引入全维状态观测器的状态反馈系统，其维数为被控系统和观测器系统的维数之和（2n维）。 + + + + + ∫ ∫ + - + - 状态反馈 被控系统 图5 引入全维状态观测器的状态反馈系统 全维状态观测器 可以证明：引入全维状态观测器的状态反馈系统的传递函数矩阵为： 引入真实状态的状态反馈系统的传递函数矩阵为： 引入全维状态观测器的状态反馈系统与利用真实状态进行反馈得到的状态反馈系统具有相同的传递特性，与观测器部分无关，可用估计状态代替真实状态进行反馈。 还可证明组合系统特征多项式为： 该式表明该组合系统特征值分属于状态反馈和状态观测器,两部分特征值相互独立, 彼此不受影响, 故状态反馈矩阵K和观测器中输出反馈矩阵H可分别独立设计。 定理9-8（P491）：若被控系统可控可观测，用状态观测器的状态估计值实现状态反馈控制系统时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行，即状态反馈矩阵K的设计和观测器中输出反馈矩阵H的设计可以分别独立进行。 能否找到状态反馈矩阵K，使闭环特征值配置到下列位置：{-2，-2，-1，-1}； {-2，-2，-2，-1}； {-2，-2，-2，-2}。 提示：对系统作可控性结构分解，得到系统有一个不可控特征值-1。 试设计全维观测器，使观测器极点位于{-r, -2r}, 试设计全维观测器，使观测器极点位于-r, -2r, (r 0)。 解： 期望观测器特征多项式为 用待定系数计算观测器的特征多项式 全维状态观测器为 证明：由于系统{A, B}不完全可控，其结构分解为 对于任意的状态反馈矩阵 ，可导出 即状态反馈不能改变不可控极点，因此使闭环系统稳定的必要条件是不可控部分是渐近稳定的。 其中： 6.2 系统的极点配置(※) 利用状态反馈和输出反馈使闭环系统的极点位于所希望的极点位置，称为极点配置。状态反馈和输出反馈都能配置闭环系统的极点。 状态反馈K不能改变不可控部分的极点，但能够任意配置可控部分的极点。 输出反馈F也只能配置可控部分的极点，但不一定能实现期望极点的任意配置；肯定不能将极点配置到系统的零点处。 一．极点可配置条件 定理9-5 （P484 ）利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。 证明：以单输入—多输入系统来证明该定理。 1）充分性：若系统完全可控，则通过非奇异线性变换 可变换为可控标准型: 其中： 引入状态反馈： 其中： 闭环特征方程为： 则引入状态反馈后闭环系统的系统矩阵为： 闭环特征方程为： 该n阶特征方程中的n个系数，可通过 来独立设置，也就是说 的特征值可以任意选择，即系统的极点可以任意配置。 2）必要性：如果系统（A, b）不可控，说明系统的有些状态将不受u的控制，则引入状态反馈时就不可能通过控制 k 来影响不可控的极点。 二. 单输入—单输出系统的极点配置算法(※) 给定可控系统(A,b,c