电子科技大学第12章代数系统.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 12.4 同态与同构 在现实社会中，存在着很多代数系统，但仔细分析这些众多的代数系统发现，有些代数系统，他们之间表面上似乎不相同，但他们实际上 “相同” 。 如有两个代数系统{奇，偶}，*和{正，负}，，其运算“*”和“”分别定义如下表 * 定义12.4.1 设A, ?和B, ?为两个二元代数系统，ψ是A到B的映射。对任意x, y∈A，都有 ψ(x?y) = ψ(x) ? ψ(y)， (1) 则称ψ是从A, ?到B, ?的同态映射，称ψ(A)为同态象，其中ψ(A) = {ψ(x) | x∈A}。 如果存在一个从A, ?到B, ? 的同态映射，则称A, ?与B, ? 同态，记为A, ?∽B, ? 。 当A = B时，称其同态为自同态。 * 定义12.4.1（续） 当同态映射ψ分别是单射、满射、双射时，分别称ψ是单一同态映射、满同态映射、同构映射。 如果存在一个从A, ?到B, ? 的同构映射（单一同态映射、满同态映射），则称代数系统A, ?与B, ? 同构（单一同态、满同态）。 用A, ?≌B, ? 表示A, ?与B, ? 同构。 * 同态与同构 同态与同构是代数系统中一个非常重要的概念，它体现了两个代数系统之间的某种联系，后面章节将会学习半群、群、格、布尔代数等典型的代数系统，那么将同态与同构的概念应用到这些典型的代数系统，就会得到半群、群、格、布尔代数的同态与同态。 注意，后面章节中半群、群、格、布尔代数的同态与同态本质上就是把半群、群、格、布尔代数看作一般代数系统的同态与同构，即定义12.4.1。因此，后面不再赘述半群、群、格、布尔代数中同态与同构的定义。 * 例12.4.1 设代数系统Z, +和E, +中，Z、E分别是整数集和偶数集，“+”是加法，证明Z, +≌E, +。 分析 证明两个代数系统同构，关键是找出同构映射。假设f是Z, +到E, +的同构映射，根据同构映射的定义，有 ?x, y∈Z，f(x + y) = f(x) + f(y), 特别取x = 0, y = 0，有 f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0)，可得f(0) = 0。 * 例12.4.1（续） ?n∈Z, f(n) = f(n?1 + 1) = f(n?1) + f(1), 可得递推公式如下： f(n) = f(n?1) + f(1), 如果f(1) 0，则f(n)是递增函数， 0 = f(0) f(1) f(2)， 而f又是Z到E的双射，因此此时必有 f(1) = 2， 同理，如果f(1) 0，可得 f(1) = ?2。 根据以上分析可知， ?n∈Z, f(n) = 2n或f(n) = ?2n， * 例12.4.1（续） 以上说明，如果f是同构映射，则 f(n) = 2n或f(n) = ?2n， 因此需进一步验证f(n) = 2n或f(n) = ?2n是否是同构映射。 证明 ?n∈Z，令f(n) = 2n，则显然f是Z到E的双射，又对?x，y∈Z，有 f(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y)， 因此f是同构映射，同理可证f(n) = ?2n也是同构映射。故有Z, +≌E, +。 结论 证明两个代数系统的同态与同构关键是构造出同态与同构映射，构造同态与同构映射没有一个通用的方法，但一般思路如下：首先可以假设f就是同态或同构映射，然后利用同态与同构的定义，导出f的一些性质，并利用这些性质来构造同态与同构映射。 * 定理12.4.1 设ψ是A, ?到B, ? 的同态映射，那么ψ(A), ? 是B，?的子代数。 分析 需证ψ(A) 非空，且运算“?”对ψ(A)封闭。 证明 由于A非空，所以显然ψ(A)为B的非空子集。 对任意x, y∈ψ(A)，存在a, b∈A，使得 ψ(a) = x，ψ(b) = y，有 x ? y = ψ(a) ? ψ(b) = ψ(a ? b)， 因为a ? b∈A，所以ψ(a ? b) ∈ψ(A)，即 x ? y∈ψ(A)， 故“?” ψ(A)对封闭，得证。 * 定理12.4.2 设ψ是二元代数系统A, ?到B, ?的满同态，则： （1）若“?”可交换，则“?”也可交换； （2）若“?”可结合，则“?”也可结合； （3）若e是A, ?的幺元，则ψ(e)是B, ?的幺元； （4）若?是A, ?的零元，则ψ(?)是B, ?的零元； * 定理12.4.2（续） （5）若a是