高二数学名师一号2-1课件3.1.2.ppt

共 48 页 3.1.2 空间向量的数乘运算 自 学 导 引 (学生用书P63) 1.理解向量数乘运算的含义及运算律,能够进行向量的数乘运 算. 2.掌握向量共线与共面定理,能运用定理证明一些几何问题. 课 前 热 身 (学生用书P63) 1.与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个 __________,称为____________________. 当λ0时,λa与a方向__________; 当λ0时,λa与a方向__________; 当λ=0时,λa是一个__________. λa的长度是a的长度的__________倍. 2.数乘运算律: 分配律:___________________;__________________. 结合律:λ(μa)=__________. 3.空间向量共线的充要条件是:对空间任意两个向量a、 b(b≠0),a∥b的充要条件是__________. 4.空间任意两个向量都__________.平行于同一平面的向量 叫做__________. 名 师 讲 解 (学生用书P63) 1.正确应用共线向量及共线向量定理 (1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们说a、b共线时,表示a、b两条有向线段所在直线既可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说a∥b时,也具有同样的意义. (2)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法,但是要注意,向量平行与直线平行是有区别的,直线平行不包括共线的情况.如果应用共线向量定理判断a、b所在的直线平行,还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上. 2.共面向量定理的理解 (1)空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实 数对(x,y),使 满足这个关系式的点P都在 平面MAB内;反之,平面MAB内的任一点P都满足这个关系式. 这个充要条件常用以证明四点共面. (2)共面向量的充要条件给出了平面的向量表示式,说明任意 一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来,它既是判 断三个向量是否共面的依据,又是已知共面条件的另一种形 式,可以借此已知共面条件转化为向量式,以方便向量运算.另 外,在许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x,y,z)使得对于 空间任意一点O,有 且x+y+z=1成立, 则P、A、B、C四点共面作为判定空间上四个点共面的依据. 典 例 剖 析 (学生用书P63) 题型一 空间向量的概念 例1:给出以下命题: ①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量, 则这两个向量一定不共面; ②已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB、BC、CD、DA 分别确定的四个向量之和为零向量; ④若三个向量共面,则这三个向量的起点和终点一定共面. 其中正确命题的序号是__________. 解析:在空间,用有向线段表示的向量仍然是自由向量,而任意 两个向量总是共面向量,故命题①错误;空间四边形的四条边 确定的四条线段中每条线段都可以确定两个方向相反的向量, 当它们不是首尾相接时,这四个向量的和就不是零向量,故命 题②错误;命题③就是空间共面向量定理,所以是正确的;命题 ④也是错误的,向量的共面与点的共面是不同的两个概念,若 其中两个向量是平行向量, 第三个向量与其中一个向量有相同的起点,则这三个向量一 定是共面向量,但这三个向量的起点与终点却可以不共面. 变式训练1:下列说法正确的是( ) A.以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体 题型二 空间向量的数乘运算 题型三 共线问题 规律技巧:(1)判定两向量共线就是找x使a=xb,要充分运用空 间向量运算法则结合空间图形,化简得出a=xb,从而得出a∥b. (2)要证明空间图形中的两直线平行可以先证明两直线所在的 向量平行,然后观察图形找出在一直线上有一点不在另一直 线上,则两直线平行. 变式训练3:射线AB、AC、AD不共面,连接BC、CD、DB,取 AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,如图,试判断四边形 EFGH的形状,并用向量证明. 题型四 共面问题 例4:如右图,两个全等的正 方形ABCD、ABEF,在其对角 线AE、BD上(不含端点)分 别取点M、N,使AM=DN.求 证:MN∥平面BCE. 分析:可将直线与平面的平行转化成向量的共面,然后结合线 面平行的判定定理证明. 规律技巧:将要证的直线与平面平行的问题转化成向量共面 的问题,从而使繁琐地几何证明问题巧妙地转化成向量的运 算,体现了向量良好的工具性. 变式训练4:如右图,ABCD-A′B′C′D′中,点E是上底面 A′B′C′D′的中心