第8章_常微分方程数值解.ppt

* 结束 8.4.2 高阶常微分方程 以两阶常微方程为例： 则可令z=y′,化为一阶方程组求解： 然后套用前面的各解法即可解决. 微分方程的求解问题 一、常微分方程(组)的符号解：dsolve [y1,y2,…] = dsolve(eqn1,‘eqn2,…,var1,var2,…, inition, disp_var1, disp_var2…) 参数说明： eqn1,eqn2,…：包含微分方程（组）在内的字符串，可以是函数名或是微分方程（组）的表达式；每个eqn_i可以包含一个或多个微分方程。 var1,var2,…：指定方程组中独立的变量（若方程组中有多个符号，要指定某个符号为未知变量符号）； inition：微分方程的初始条件（组），或者是初始条件的表达式。如： ‘y(a) = b’表示 ，‘D3y(c) = d’ 表示 例 求通解 （1）y+3y+2y = 0 （2） 解： equ_1 = D2y+3*Dy+2*y=0 equ_41 = Dx=y+x equ_42 = Dy=y-x+1 y1 = dsolve(equ_1, x) [x,y] = dsolve(equ_41, equ_42, x(0)=0, y(0)=0) 二、常微分方程（组）的数值解：odeXX [t, y]=odeXX(F, tspan, y0) 参数说明： XX可为45或者为23，F是函数名。tspan为自变量t的积分 范围，y0为方程的初始状态值。 例： 把高阶（3阶）方程 转化为同解的一阶导数方程组，写成函数文件，并在时间 段 [0, 120] 内求解。 解：设 则原方程等价于方程组： 令y（1）= ，y（2）= y（3）= ， 1．写成函数文件为： function y = my_fun（t，y） y = [y（2）; y（3）; -2*y（3）-3*y（2）-4*y（1）] 2．保存于文件：my_fun.m 3．调用函数odeXX求解。 y0 = [10；9；8]； % 定解条件 [t, y] = ode23（my_fun，[0，120]，y0）; plot（t，y（：，1）） % y的第一列为方程的解 xlabel（time） ylabel（y = y（t）） 计 算 方 法 课 件 * 结束 第8章 常微分方程的数值解 科学研究和工程技术中的问题往往归结为求某个常微分方程的定解问题。 很多常微分方程的定解虽然存在，但可能十分复杂难于计算，也可能不能用简单的初等函数表示，因此常求其能满足精度要求的近似解。 常微分方程的数值解法常用来求近似解，它提供的算法能通过计算机便捷地实现。 * 结束 本章主要讨论一阶常微方程的初值问题： 其中f (x,y)是已知函数，(2)是定解条件。 常微分方程的数值解：求y(x)在求解区间[a, b]上剖分点列x1, x2, …, xn的数值解y1, y2, …, yn，将其作为y(xi)的近似值。 * 结束 §8.1 欧拉(Euler)公式 对问题 最简单而直观的方法是欧拉方法。欧拉方法在精度要求不高时，仍不失为一实用方法。 8.1.1 基于差商的Euler公式 把区间[a, b]分为n个小区间，取步长h=(b-a)/ n ，节点xi=x0+ih, i=0,1,2,…,n，其中x0=a,又设y (x)为上述问题的解。 向前差商： 1. 用向前差商近似 又 得 设y(x1)的近似值y1，则 Euler向前公式： * Euler显式公式 如图，过点(x0, y0)的曲线是解y(x)。 欧拉方法是在(x0, y0)作y(x)的切线，它与直线x=x1交于 (x1, y1)，过(x1, y1)作过此点的积分曲线的切线，又与x=x2交于(x2, y2)，…如此下去，得到一条折线，欧拉方法就是用这条折线近似地代替曲线y(x)，故欧拉方法有时也称欧拉折线法. 2. Euler方法的几何意义 * 向后差商： 3. 用向后差商近似 又 得 设y(x1)的近似值y1，则 Euler向前公式： * Euler隐式公式 * 例：假定某公司的净资产因资产本身产生了利息而以4%的年利率增长，同时，该公司以每年100万的数额支付职工工资。净资产的微分方程为：(t以年为单位) 用Euler公式预测公司24年后的净资产趋势。 分别以初始值 解：Eul