第9次课(2.2唯一性定理2.3拉普拉斯方程,分离变量法).ppt

§2.2 唯一性定理 Uniqueness Theorem 2）有导体存在的情况 §2.3 拉普拉斯方程，分离变量法 Laplaces equation, method of separate variation 利用边界条件定解说明两点： 第一，如果考虑问题中有i 个区域（均匀分布），必须有i个相应的Laplaces equation . [例1 P48]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q 。同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1R2)，使半径R1的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。 导体球上的感应电荷为 第二步：根据定解条件确定通解和待定常数 由（6）式得 总结本节课的内容 自学内容 比较 的系数，得 由此得到电势为 由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。而且球内电场比原则外场 为弱，这是极化电荷造成的。 ▲在球内总电场作用下，介质球的极化强度为 ▲介质球的总电偶极矩为 1、绝缘介质静电问题的唯一性定理 数学表述如下: (在每个小区Vi) (在整个区域V 的边界面S上给定,按约定,边界面法线 指向V 外) (在两种绝缘介质的分界面上) 分界面法向单位矢量 由 指向 ) 或 　　惟一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域V 中静电场分布的惟一解. 2、有导体存在的唯一性定理 b） 数学表示为: (在V ′ 内) (已知) (已知) （待定） 或 a） 数学表示为: (在V ′ 内) (已知) (已知) 或 第一步：分析题意，找出定解条件。 第二步：写出通解 分离变量法基本步骤： 第三步：根据定解条件确定待定常数 作业：课本P70 习题2 1. 绝缘介质静电问题的唯一性定理的证明 为了说理清楚，将证明分解成几步，首先证明区域V 中只有一种均匀介质的情况，然后再把它推广到多种介质分区分布的情形。 a)区域V 中只有一种均匀介质的情形 利用反证法证明:假设区域V 中存在两个不同的解 ?和?它们都能满足同一个泊松方程和边界条件,下面我们将证明它们只能是同一个解. 引入标量函数Φ ,令Φ = ? - ? ″ 在区域边界面S 上　 (给定第一类边界条件) (给定第二类边界条件) 或 下面需要证明的是,满足以上方程和边界条件的?和?顶多只能差一个常数. 利用矢量的微分运算公式: 等式两端对V 作体积分 式中 在边界面S 上,无论　 还是 ，都使 注意到 为非负数,欲使上式成立,只有 ,即Φ= C ,或?-?=C，以上说明?和?顶多差一个常数,而电势的附加常数对电场没有影响,这就证明了?和?在物理上是同一个解,于是,唯一性定理得证. b)区域V 中有两种各自均匀的介质ε1 和ε2 的情形 令Φ1 = ? 1- ?1″ 分别对应V1 区和V2 区 下面将证明,每一个区域的解都是唯一的. 对V1 区,设有两个解?1、?1 都满足V1 区的场方程和边界条件 在V1区的外边界1上　 或 给定第二类边界条件 给定第一类边界条件 约定, 为V1 区边界的法向单位矢量,指向V1 外部; 令Φ2 = ? 2- ?2″ 同理对V2 区,设有两个解?2、?2 都满足V2 区的场方程和边界条件 在V2区的外边界2上　 给定第一类边界条件 或 给定第二类边界条件 约定, 为V2 区边界的法向单位矢量,指向V2外部; 而在V1 和V2 区的公共界面(即内边界) 上,由电势的边值关系 两式左右分别相减,得Φ1 = Φ2 * 学习“唯一性定理”的重要性 静电场的基本规律是建立在库仑定律基础之上的,原则上讲,用库仑定律可以求任意电荷分布的电场,但前提是要求空间所有的电荷分布必须已知. 现在的问题是,如果需要求解一个区域内的电场,区域内的电荷分布已经给定,而区域边界上的电荷分布却是未知的, 此时就不能利用库仑定律 例如 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中。 但具有一定的边界条件, 利用给定的边界条件去解静电场的泊松方程,这叫做静电场的边值问题. 边值问题的解法有许多种,如分离变量法、镜像法、格林函数法等等,问题是采用其中任何一种方法所得到的解是不是唯一的、正确的? 只有唯一性定理才能对此做出明确的回答,这就是我们必须要学好唯一性定理的原因. 对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。 静电势的微分方程 边值关系 复习上一节课的内容 导