第9课时 §11.3 角的平分线的性质(二).pptVIP

* 第9课时 §11．3 角的平分线的性质（二） 1．理解并掌握“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”这一结论； 2．会应用上述结论解决有关问题。 例1 △ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=64，BD∶DC=9∶7,求D到AB的距离. 〖分析〗设DE为D到AB的距离，由角平分线性质CD=DE，再由已知可求CD、DE. 解：作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，DC⊥AC，又AD为∠BAC平分线，∴DC=DE，BC=64，BD∶DC=9∶7 ∴DC= ×64=28 ∴DE=28 例2 如图所示，在△ABC中，O是∠ACB与∠ABC的角平分线的交点，求证AO平分∠BAC． [分析] 要证AO平分∠BAC，即证O在∠BAC的平分线上，只需证O到AB，AC两边距离相等即可，由已知可得O到AB，BC的距离相等，O到BC，AC的距离相等，即OD=OE，OD=OF，则OE=OF，问题得证． 证明：过O分别作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，因为BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以OD=OE，OD=OF，所以OE=OF，所以点O在∠BAC的平分线上，即AO平分∠BAC． [点评] 解答本节习题应把握以下几个方面：（1）由于角平分线的性质涉及到距离，所以往往有些习题和面积结合起来考虑会更方便一些．（2）在应用角平分线的性质时一定要注意性质所需的条件． 1、“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”这个结论可以使我们在解决一些问题时，可以不再事先去证明三角形全等，从而使解决问题更加方便简捷。 2、本节课学习的“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”与上一节课学习的“角的平分线的性上的点到角的两边距离相等”这两个论断，它们的条件和结论正好交换 5.如图，，在△ABC中，∠C=90°，D在BC上，DE⊥AB于E，DC=DE，∠CDA∶∠B=2∶1，你能求出∠B的度数吗？请写出你的解答过程. 解：∵∠C=90°，DE⊥AB，且DC=DE ∴∠BAD=∠CAD 又∵∠CDA∶∠B=2∶1 ∠CDA=∠B+∠BAD ∴∠B=∠BAD 又∵∠BAD=∠CAD，∠C=90° ∴∠B=30° 6. 如图，D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，E、F是垂足，如果∠B＝∠C。 求证：D在∠A的平分线上。 提示：首先证明Rt△DPF ≌Rt△DCE， 得DF＝DE 7.如图所示，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线， DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, △ABC的面积 是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE 的长。 解：DE=2cm 8．已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD 求证：⑴△BDE≌△CDF ⑵点D在∠A的平分线上 证明：（1）略 （2）∵△BDE ≌△CDF， ∴DE=DF ∵DF⊥AC，DE⊥AB ∴点D在∠A的平分线上 9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是4cm，求AB的长． 解：∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴CD=DE． 又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE，∴BD+DE=BD+CD=BC． 又∵AC=BC，∴AE=BC，∴L=BD+DE+BE=AE+BE=4cm，∴AB=4cm． 10.如图，已知PB、PC分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P，求证：P在∠A的平分线上。 证明：过P作PE⊥AB于E，PG⊥AC于G， PH⊥BC于H. ∵点P在∠EBC的平分线上， PE⊥AB，PH⊥BC ∴PE=PH. 同理PG=PH ∴PE=PG ∴点P在∠A的平分线上