第一章3：齐次方程的解.pptVIP

* 一、齐次方程的解 §1—3 线性动态方程与等价动态方程 首先考虑一般的线性微分方程： 的解的性质。 预备定理（解的存在和唯一性）设A及f 的每个元素aij(t) ，fi 均在 上连续，则对于任何 及任何常向量x0，方程(A1) 恒有定义在整个 上的解x=x(t) ，满足初值条件 并且方程(A1)也只能有一个解满足(A2)。 因此，其解向量x(t) 必然属于 。称 是微分方程(1-50)的一个解，系指： 说明： =A(t)x 打开后的形式是： 定理1—2 方程dx/dt=A(t)x 的所有解的集合，组成了实数域上的n 维向量空间。 要证： 解的集合组成线性空间； 解空间的维数是n 。分成两部分证明：1）dx/dt=A(t)x有n个线性无关的解；2）其任一解均可表成它们的线性组合。 证明： 方程所有解构成线性空间：任取dx/dt=A(t)x的两个解?1、 ?2，则对任意的实数?1和?2，有 (i=1，2，…，n) 时方程 的解。要证明， 是线性无关的 n个解。 反证法。 若线性相关，必存在 一个n×1非零实向量? 使得 特别，当t=t0时就有 始条件 是个n个线性无关的向量， 是在初 1)设 b)证明解空间的维数是n： 上式意味着向量组 线性相关，这写原先假设矛盾。矛盾表明 在 上线性无关。 2) 证明dx/dt=A(t)x的任一解均可表成它们的线性组合 ，即解的集合组成了n维线性空间。 的任一解。e 显然可唯一地被 线性表出： 令 是方程dx/dt=A(t)x满足初条件 容易验证， 是方程dx/dt=A(t)x满足初值条件 的解。根据唯一性定理，满足初值条件的解只有一个。故必有 证完。 其中E为某个非奇异常量矩阵。 定义1—8：以方程 的 n 个线性无关解所构成的矩阵 二、基本矩阵与状态转移矩阵 基本矩阵 称为方程 的基本矩阵或基本解矩阵。 根据定理1-2，基本矩阵具有如下性质： 在证明该定理之前，需要了解如下命题： 若 是微分方程 的一个解，且对某个t0，有 , 则 证明：显然， 是方程的一个解；又已知 由于满足上述初始条件的解只有一个，故必有 命题： 定理1—3 方程 的基本矩阵对于 中的每一个 t 均为非奇异矩阵。 证完。 证明：反证法。若不然，设有t0，使得基本矩阵 为奇异阵。于是，存在非零实向量? ，使得 由于 是微分方程的一个解，故 由以上命题知 定理1—3 方程dx/dt=A(t)x的基本矩阵对于 中的每一个 t 均为非奇异矩阵。 这与基本矩阵的定义相矛盾。 证完。 定理1—4 若 均为dx/dt=A(t)x的基本矩阵，则存在n×n非奇异实常量矩阵C，使得 证明：根据基本矩阵的性质即可证明。 定义1—9 令 是的任一基本矩阵，则 称为(1—50)的状态转移矩阵，这里 状态转移矩阵具有下列重要性质： 状态转移矩阵 可证明 是下列矩阵微分方程的唯一解： 4). 由基本矩阵的性质 5).齐次方程dx/dt=A(t)x在初始条件 下的解为 （1－53） 故 可看作一个线性变换，它将t0时的状态x0映射到时刻t 的状态x(t)。事实上， x(t)总可以表示为 特别， 例：试证明状态转移矩阵是唯一的，即状态转移矩阵与基本矩阵的选取无关。 将其代入上式，就是所要证明的。 三、非齐次方程的解 令 则容易得到如下结论： 时变线性系统的解 定理1—5 状态方程 的解由式（1—54）给出： 是初值x0的线性函数，称为零输入响应 是外作用u的线性函数，称为零状态响应 其中 推论1—5 动态方程（1—34）的