高等数学微积分第十章第1节.ppt

曲线积分与曲面积分 第一节 第二型曲面积分 1 定向曲面 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 2 合一投影法 把三种类型的积分转化为对同一坐标面的积分. 因 例如，设曲面∑的方程为 它与平行于坐标轴的直线均至多交于一点，其单位法向 量为 故 二、第二型曲面积分的计算 于是 然后化为对xoy平面的二重积分. 若∑的方程为 则 二、第二型曲面积分的计算 故 例如，在例3中的面ABC 由方程： 表示，沿ABC 的积分 二、第二型曲面积分的计算 例5 计算曲面积分 其中∑是旋转抛物面 介于 及 之间的部分，取下侧。 o z x y 解： 曲面∑在xoy平面的投影区域 又 二、第二型曲面积分的计算 一、第二型曲面积分的概念和性质 二、第二型曲面积分的计算 1 定向曲面 2 第二型曲面积分的概念 3 第二型曲面积分的性质 1 分面投影法 2 合一投影法 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 能区分出曲面的侧 的曲面叫做双侧曲面. 一、第二型曲面积分的概念和性质 典型双侧曲面 选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面. 用∑表示选定了某个侧的定向曲面， 则选定其相反侧的定向曲面用∑－表示. 注意：∑ 与∑－是不同的曲面. ∑ ∑ － 1 定向曲面 规定:定向曲面上任一点处的法向量的方向总是指向曲面取定的侧. 例如，空间直角坐标系中 x轴指向前方， y轴指向右方， z轴指向上方。 y z O x 1 定向曲面 取上侧，则它在点(x, y, z(x,y))处的法向量取 S , ) , ( y x z z = 的方程为： 若光滑曲面 S 即 与oz 轴正向交成锐角 关于oz 轴的方向余弦 1 定向曲面 取下侧，则它在点(x, y, z(x,y))处的法向量取 S , ) , ( y x z z = 的方程为： 若光滑曲面 S 即 与oz 轴正向交角为钝角 关于oz 轴的方向余弦 1 定向曲面 光滑曲面y=y(x,z)的右侧和左侧的法向量分别为： 光滑曲面x=x(y,z)的前侧和后侧的法向量分别为： 1 定向曲面 光滑曲面由参数方程： 则它的侧由法向量： x=x(u, v) , y=y (u, v), z=z (u, v). 选定“+”号或“—”号确定 例1 在球坐标系下单位球面表示为 1 定向曲面 2 第二型曲面积分的概念 设 表示流体的流速场，∑为场中的一片定向曲面，欲求单位时间内流体由曲面负侧经曲面∑流向正侧的流量。 实例: 流向曲面一侧的流量. ①分割 把曲面Σ细分成小块 任取 任取一典型的微元 在其上任取一点 设其面积也记成 曲面Σ在点 处的单位法向量 M S dS 单位时间流经曲面微元 的流量 可近似地看做一细柱体，底面为 ，高为 故 ② 求和 单位时间流经Σ的流量： ③ 取极限 流量 的精确值 ，取极限得到 2 第二型曲面积分的概念 定义1: 设 是一向量场，∑是场中的一定向曲面，称 为向量场 流经曲面∑的通量. 记 当 是电位移向量，则 就是穿过曲面∑的电通量， 当 是磁感应强度，则 就是穿过曲面∑的磁通量. 2 第二型曲面积分的概念 则 在单位时间流经曲面∑的通量为 2 第二型曲面积分的概念 定义2: 设∑是一片光滑的定向曲面，向量函数 在∑上有界， 是∑上点(x,y,z)处的 单位向量，若曲面积分 存在，则称此积分为 沿曲面∑的第二 型积分。其中 称为定向曲面积分微元， (1.2) 若记 2 第二型曲面积分的概念 则 这时第二型曲面积分(1.2)也可写成