高级微观经济学——包络定理与条件极值.pptVIP

单击此处编辑母版标题样式 高级微观经济学 微观经济理论 ——基本原理与扩展  Contents 包络定理 单变量与多变量情形 条件极值 拉格朗日乘数法 包络定理(envelope theorem) 研究当函数中某一参数变化时，最优值如何变化。 e.g. 假设y是单一变量(x)与参数(a)的函数 对于参数的不同值a，这个方程表示一簇反向的抛物线，请计算当参数a变化时最优值y*是怎样变化的。 ⒈通过求解单变量最大化问题的方法，求出x*，然后代入方程 2.包络捷径：对于a的很小变化可以在x的最优值点上令x为常数，对目标函数直接计算 直观解释： 多变量情形 对于y是多变量的函数，类似的包络定理仍然成立。假设y取决于一组x(x1,…,xn)与特殊常数a，通过求解n个一阶方程 得出这些x(x1*,…，xn*)的最优值。假设方程满足二阶条件，每一个 能够表示为参数a的显函数，即 包络定理结论： e.g. 在斜边长为L的直角三角形中求周长最大的直角三角形。设两直角边长为x,y，则求周长z=L+x+y在条件 L2=x2+y2下的最大值。 条件极值： 自变量附加条件的极值问题称为条件极值。 传统解法： 可从约束条件g（x,y）=0中解出y=y(x)，代入z= f(x, y(x))转化为一元函数的无条件极值。 若从g（x,y）=0中解不出y=y(x)？ 拉格朗日乘数法： 问题： 构造拉格朗日函数： 一阶条件： 经济学中的绝大多数最大化问题都是限制条件下的最大化问题。 ●　效用最大化有预算限制 ●　社会福利最大化受资源限制 ●　利润最大化受技术限制 分析经济学中限制条件下的最大化问题，拉格朗日乘数法非常有用。 拉格朗日乘数法： 问题： 构造拉格朗日函数： 一阶条件： 拉格朗日乘数（ ）的解释： e.g.最佳的篱笆尺度： 给定篱笆的周长p，求它所能围的最大面积（假定这个区域必须是矩形）。 这个问题可概括为： 引入拉格朗日函数为： 结论：最佳方法是围一个正方形（x=y） 这里f1表示x每增加一单位目标函数的边际增加；g1表示随x的增加y的取值范围的减少。这里， 表明周长增加一单位，面积的增量。 这里 说明放松限制 一单位，最大面积就会增加 。 检验如下： 取 再取 可见 这个式子 很接近于限制条件增加一单位时，A的变化量。 的经济学解释（影子价格）： 的边际收益 的边际成本（多获取一点点x需承担的预算负担） 的边际收益 的边际成本 对偶性 每一个限制条件下的最大化问题都有一个相应的对偶问题，那就是在目标函数取最大值时把限制条件函数最小化。 原问题： 对偶问题： e.g.最优篱笆的对偶：对于给定面积为A的矩形土地，农场主要以最短长度的篱笆围住它。 数学表达为： 建立拉格朗日函数： 在经济学中的意义： 成本最小化问题就是利润最大化问题的对偶问题 支出最小化就是效用最大化的对偶问题 Thank You ! The End 单击此处编辑母版标题样式