第七章无穷级数习题课(二) - 第十一章无穷级数习题课(一).ppt

第七章 无穷级数习题课 (二) 函数项级数 版权声明 本ppt为网络收集，有任何疑问请及时和本人联系，我将在第一时间做出处理。如有侵犯你的利益，非常抱歉，收到通知后我将立刻删除 版权声明 * 一、幂级数 1．幂级数的基本概念 (1) 幂级数的定义： (2) 收敛半径： (3) 幂级数的和函数： 或 收敛区间： 存在正数 当 幂级数收敛，当 幂级数发散， 称为幂级数的收敛半径。 收敛域：收敛点的全体 2．幂级数和函数的性质 （1）连续性： （2）可导性： （3）可积性： 3．幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法 求幂级数的收敛域，通常有三种基本类型，即 型、 型和缺幂型，还有一种特殊的非幂函数型。 对于 型，通过求 ，得半径 ， 然后讨论 处的敛散性，从而得收敛域； 对于缺幂型，可采用比值法，先求出收敛半径，再讨论 处的敛散性，从而得收敛域。 解题方法流程图如下。 对于 型，令 , 化为 型, 可得收敛域； 解题方法流程图 求幂级数收敛域 判别幂级数类型 收敛域 收敛域 令 　　 讨论 处的敛散性 ， ，其它 讨论 处的敛散性 当 时收敛 当 时发散 用比值法 令 1 2 3 4．幂级数和函数的求法 求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的 幂级数进行恒等变形，然后采用“先求导后积分”或“先 积分后求导”等技巧，并利用与形如 （或 等） 幂级数的和函数，求出其和函数。 解题方法流程图如下图所示。 求 的和函数 令 No Yes Yes No 能直接求 出和函数 恒等变换 直接求和 逐项积分 逐项求导 逐项求导 逐项积分 Yes 能直接求出 和函数 No Yes No 能直接求出 和函数 解题方法流程图 5．典型例题 【例1】 求幂级数 的收敛半径及收敛域。 解： 当 时，级数为 ，该级数收敛。 当 时，级数为 ，该级数收敛。 故此幂级数的收敛域为 。 【例2】求幂级数 的收敛域。 解：令 ，原级数变为 所以 ，即 时，幂级数收敛。 当 时，级数为 ，为交错级数收敛， 当 时，级数为 ，为P-级数发散， 故此幂级数的收敛域为 。 【例3】求幂级数 的收敛域。 解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法 当 ，即 时，级数收敛。 当 ，即 时，级数发散。 当 时，级数为 ，为交错级数收敛。 当 时，级数为 ，为交错级数收敛。 故此幂级数的收敛域为 。 【例4】求幂级数 的和函数，并求 的和。 解：记 求导得 积分得 令 ，则 【例5】* 求幂级数 在收敛区间 内的和函数。 分析：由于幂级数 ，通过比较级数 和 的一般项，不难发现， ，而 ，所以应用给定的幂级数先积分，后求导， 就