第三章 运动方程的积分.pptVIP

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第三章:运动方程的积分 (体系的不变量) * * 1:运动方程: Euler-Lagraingian 方程: 2s个 2:体系的几种不变性: 相应地有运动积分(不变量) 注意:对特定的s个自由度体系,状态量为2s个,运动积分有 2s-1个,而上面几个则是普遍的,联系着时空的对称性。 Now: 可以设想,对自由度比较少的体系,不需要考虑运动方程而只需要应用不变量关系,就可求解其运动关系 ,或者,对多自由度体系,即使运动积分不能完全确定体系的运动解,也可以至少给出一部分内容。自由度:1,2,3。。。。。 有趣的具体体系:一维运动(周期)、有心立场 Note:不变量关系和约束的区别 前者不能用来简化L,后者可以。 原因:前者在虚位移小变,不变的只是真实位移下的 时间的依赖关系,后者在虚位移下不变。 一维体系: 运动积分:能量守恒条件 VS 动力学方程 由能量这个运动积分表达式可得 这里虽然没有明显求解出路径,但是求出了其反函数关系,这是重点。 性质: 动能大于0= 可能的运动区间 = 动能为0的位置;周期运动;运动的定域相关性 周期运动:振动 x1-x2-x2, 时间可逆 Now:逆问题,类比于傅立叶变换等 已知周期关于能量函数,如何反推势能曲线? 寻找投影算符 X1,x2相同势能点而中间皆有动能=非唯一函数 =分段处理,且只有1个势能最小点 U(x)的不确定性,附加空间反演对称性要求 二体问题: 对称性=能量、动量、角动量守恒 应用动量守恒,选取参照系,使得该参照系下总动量为0 =总动量相应的质心不动,并平移至原点。 得到新的坐标(广义坐标,物理意义不直观) 新坐标下的L 其中定义 折合质量、质心的概念是一个层次上,退耦合 由此,通过动量守恒,等价到单质点问题; 进一步,应用其他守恒关系来化间广义坐标 = 给定初始角动量后,“质点”只在垂直于该角动量的平面内运动! 平面运动,由此平移到该平面,应用极坐标 = 角动量守恒: 几何意义 书上解释欠妥(or 书上P30页的解释不够清晰) 能量守恒 2个一阶微分方程,可解 (1) (2) 注意性质: (唯象工作、应用工作时候特别注意的地方) (2)反应了整体轨道;(1)反应了长度随时间关系 进一步,r方向运动等效于一维运动 Vs. 一维运动特点 周期运动等 具体点,r方向周期运动时,角度方向是否一起也周期运动 封闭曲线运动条件 Problem1: Problem2: 补充:守恒量和运动积分关系 (1) 运动积分是独立守恒量,2s-1个,广义坐标速度的函数. (2) 上面7个是有物理意义的守恒量,部分情况下,并不独立. 题: 写出三维自由质点的运动积分 2s-1=5个, 本身3动量or速度也是独立常数 (既角动量) 故5个运动积分,7个守恒量并不独立! 应用至万有引力情况: 15. 先讨论轨道: 积分 积分公式: 性质讨论: 定义 轨道 更具体些:椭圆、双曲线性质 计算椭圆运动周期:

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