第三章4-5刚体运动方程与转动惯量.ppt

小结 力系的简化规则 刚体运动微分方程 刚体的运动分解随质心的平动＋绕质心的转动 六个独立的方程 转动惯量 惯量椭球与惯量主轴 第三章 刚 体 力 学 导读 空间力系和平行力系的求和 刚体运动微分方程和平衡方程 简单转动惯量的计算 转动惯量的计算 1 力系的简化 将所有空间力作用点都迁移到一点. §3.4 刚体运动方程与平衡方程 力是滑移矢量 力可沿作用线移动，不能随意移动 设F’为作用在刚体A点上的一个力, P为空间任意一点, 但不在F’的作用线上. F’ r A P F1 F2 在P点添上两个与F’的作用线平行的力F1及F2, 且 这样F’可以化为过P点的力F1和F’及F2所组成的一个力偶. 方向：永远垂直于力偶的作用面 大小：与o点无关。 因此：力偶矩是一自由矢量，可以平行于 自身任意移动位置，不影响其效应。 力偶 所以可以把所有空间力化为过一点的力和力偶. 主矢使刚体平动状态发生变化 主矩使刚体转动状态发生变化 P点叫简化中心, 力的矢量和叫主矢, 力偶矩的矢量和叫对简化中心的主矩. P172， 思考题 3.4 2 刚体运动微分方程 如果ri代表刚体中任一质点Pi 对静止系S原点O的位矢, rC 为质心C对O的位矢, 而ri’ 为Pi 对质心C的位矢, 动坐标系S’随质心作平动, 其原点与质心C重合. 则刚体质心C的运动方程为 刚体在动坐标系S’中的相对运动对质心C 的总角动量满足 对固定坐标系中的定点O, 上式仍有效, 只需将J’改J (对定点O的总角动量)，M’改M. 刚体的运动分解随质心的平动＋绕质心的转动 六个独立的方程 刚体有六个独立变量. 故质心运动及绕质心转动两组方程式恰好确定刚体的运动情况. 也可应用动能原理，作为一个辅助方程来代替方程中的任意一个. 注意: 这时刚体内力所作元功之和为零, 故刚体动能的微分等于刚体在运动过程中外力所作的元功之和. 3 刚体平衡方程 如为共面力系, 且设诸力均位于xy平面内, 则平衡方程简化为 若刚体处于平衡状态： Mx，My=？ 例1、一根均匀的棍子、重为P长为2l. 今将其一端置于粗糙地面上，又以其上的C点，靠在墙上，墙离地面的高度为h.当棍子与地面的角度?为最小值?0时, 棍子在上述位置仍处于平衡状态，求棍与地面的摩擦系数? 解： 受力分析知本题是一共面力系的平衡问题, 取棍子所在的平面为xy平面, 则 对A点 A x y B C h O l l P N2 N1 ?0 f 刚体以?作定点转动, 其中质点Pi对定点的位矢是ri, 则质点对定点的动量矩为 整个刚体对定点的动量矩为 动量矩一般不与刚体角速度共线. (动量与速度总共线) 1 刚体的动量矩 §3.5 刚体转动惯量(重点） 在直角坐标系下 所以 引入符号 则刚体动量矩表达式简化为 刚体对各轴的转动惯量 惯量积 （3.5.5，6） 刚体以?作定点转动, 对定点的转动动能为 2 刚体的转动动能 （3.5.8） 刚体对定点的转动动能也可以写为 z 上式中?i为Pi的位矢 ri 与角速度矢量?之间的夹角, ?i 为自Pi至转动瞬轴的垂直距离，而 I 称为刚体绕转动瞬轴的转动惯量. 对于质量均匀(或按一定规律）分布，且形状规则的刚体，则把求和变成积分。 认为在转动中，刚体的质量m等效于集中于某一点，该点到轴线的距离为k,则该点对该轴线的转动惯量 mk2 等于刚体对此轴线的转动惯量I，即有 3 刚体的转动惯量 I 回转半径 物体的转动惯量决定于物体的质量分布情况, 又决定于转动轴的位置. 转动轴不同,即使是同一物体转动惯量也不同. 平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为 Ic ，则刚体对与该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量 Iz 是 P172, 思考题 3.5 质量为 m,长为 l 的细棒绕通过其端点合质心的垂直轴的转动惯量 o x z dx dm x 质量为 m,半径为 R 的均匀圆盘, 通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量 o r dr R 4 惯量张量和惯量椭球 对形状规则的刚体，将转动惯量写为积分形式 (3.5.13, 14) 轴转动惯量 惯量积 过o点有无穷多个轴，如何来计算绕这些轴的转动惯量？ 对通过空间某一点O的轴线, ?, ?, ? 为转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦, 则 一次算出轴转动惯量和惯量积, 通过O点的任一轴线的转动惯量都可得出. （3.5.15） 三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个物理量, 代表刚体转动的惯性的量度，可以写为矩阵的形式