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投稿類別：數學類 篇名 ： “尋”不循環 作者： 林郁娟。國立蘭陽女中。高二 13 班 郭鳳英。國立蘭陽女中。高二13 班 李培瑜。國立蘭陽女中。高二13 班 指導老師： 陳敏晧 老師 “尋”不循環 壹●前言： 一、研究動機: ： 從國中開始，我們使用分數作答多於小數，這是由於有些小數具無限循 環的問題，而我們決定探討循環小數的背後的關係。 二、研究目的： 我們以 1 當被除數(即分子) ，使用數列中的遞迴關係式表示當最簡分數 化成小數時，小數點後的有限數字或無限循環數字形成的數列，設法歸納出 其中的規則，試著找出循環的規律。 三、研究過程： 研究動機→研究目的→研究方法→觀察循環關係→討論分析→結論 四、研究方法：鎖定埃及分數(所謂的埃及分數是指分子為 1 的分數) ，利用遞 1 1 迴關係式來表示其循環個數，接著以 ~ 的循環關係來討論。 1 100 貳●正文： 一、循迴遞迴關係式 ： a 首先，我們將小數點後第一位訂為 ，第二位訂為 ，以此類推，然後 a 1 2 開始探討小數點後一位的循環關係。 (一) 類型 1: 分數可以整除的情況 例如: 1 1.0 (無限個0) 1 1 0.50 (無限個0) 2 1 “尋”不循環 從小數點後開始當作一列新數列，第一項0 當做 ，第二項0 為 a 1 a2 ……，由此類推，由於這數列的每一項都等於其前一項，因此此類 型的遞為關係式就為an an -1(後項都等於其前項) 。 (二) 類型2 :從第二項開始循環，所以表示為an an -1 , n≧3 例如: 1 0.16 (無限個6) 6 1 由於此類型的數列，不是從首相就開始循環，所以 的遞迴關係為 6 an an -1 , n≧3 (三) 類型3:其循環個數不只為一位 例如: 1 0.142857 (無限個 142857) 7 1 0.09 (無限個09) 11