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曲线积分与曲面积分 第三节 格林公式及其应用 一、格林公式 二、曲线积分与路径无关的条件 习题11?3: 2, 4, 6, 7 作业 第三节:格林公式(一) 课堂练习: P174;其中曲线L为1, 3 例3:计算 其中 L 为如下三条路径 经计算皆有 事实上，可以证明沿从起点 O 到终点 B 的任何一条 光滑路径，皆有 G y x o A 定义：如果在区域 G内，P、Q 具有一阶连续偏导数 B 点 A 与 B 是 G 内任意两点， 如果对于 G 内从 A 到 B的 任意两条曲线 恒有 问题：什么样的曲线积分与路径无关？ 问题：什么样的曲线积分与路径无关？ G y x o A B 即 所以 注意： 为 G 内的一条有向封闭曲线 结论：曲线积分 与路径无关 其中 C 为 G 内任意一条封闭曲线 G y x o A B 结论：曲线积分 与路径无关 其中 C 为 G 内任意一条封闭曲线 进一步，假设 G 为单连通区域 D 为 C 所围闭区域，则 由格林公式 其中，D 为 G 内任意一闭子区域。 从而可推出在整个 G 内 定理 2：设 G 是一个单连通区域，P 、Q 在 G 内具有 一阶连续偏导数，则曲线积分 在 G 内与路径无关（或沿 G 内任意闭曲线积分为零） 的充分必要条件是 在 G 内恒成立。 注意：在应用该定理时，一定要保证定理的条件： （1）G 是一个单连通区域， （2）P、Q 在 G 内具有一阶连续偏导数。 小结：设 G 是一个单连通区域，P 、Q 在 G 内具有 一阶连续偏导数，则以下命题相互等价 （1）曲线积分 （2） 其中，L 为 G 内任意一条闭曲线； （3） 其中，D 为 G 内任意一个闭子区域； （4） 在 G 内与路径无关； 在 G 内恒成立。 例 1：证明曲线积分 证明： 显然整个 xoy 面是一个单连通区域， 又 所以，由定理 2，曲线积分 在 整个 xoy 面内与路径无关； 在整个 xoy 面 内恒成立。 在整个 xoy 面内与路径无关。 它们均在整个 xoy 面内具有一阶连续偏导数。 例 2：计算曲线积分 在第一象限部分到 A ( 1 , 1 ) 的路经。 其中 L 为从点 O( 0 , 0) 沿圆周 y x 0 解： 分析：由被积函数知，直接 用曲线积分的方法比较困难。 由于 故所求曲线积分在整个 xoy 面内与路径无关， 因此考虑改变积分路径： 所以 例 2：计算曲线积分 在第一象限部分到 A ( 1 , 1 ) 的路经。 其中 L 为从点 O( 0 , 0) 沿圆周 y x 0 在 OB 上，y = 0 , 在 AB 上，x = 1, 解： 例 2：计算曲线积分 在第一象限部分到 A ( 1 , 1 ) 的路经。 其中 L 为从点 O( 0 , 0) 沿圆周 解： y x 0 三、二元函数的全微分求积 假设 G 是一个单连通区域，P、Q 在 G 内具有一阶 连续偏导数， 若曲线积分 在 G 内与路径无关 G y x o 首先在 G 内取一定点 又设 B (x , y) 为 G 内的一动点 在 G 内任作一条从 A 到 B 的曲线弧 则曲线积分 仅与起点 A 和终点 B 有关，与路径 L 无关， 记 假设 二元函数 u = u (x , y) 可微，则 反过来，若给定一个表达式 问它是否一定是某个二元函数 u (x , y) 的全微分式 回答是否定的。 问题：在什么条件下，表达式 一定是某个二元函数 u (x , y) 的全微分式？ 如何求出这个二元函数 u (x , y) ? 已知可微函数,可求出全微分 在 G 内为某个二元函数 u (x , y) 的全微分的充要条件是 定理 3：设 G 是一个单连通区域，P 、Q 在 G 内具有 一阶连续偏导数，则表达式 并且 证明略 注意在上述公式中 ( x , y ) 既是自变量，又是积分变量 可记为 计算函数 的方法 G y x o （1）沿路径 AC + CB 计算 （2）沿路径 AD + DB 计算 例3 验证 是某个函数的全微分， y x o 并求出一个这样的函数 在整个 xoy 面内恒成立， 解： 因此在整个xoy 面内， 是某个函数的全微分， 方法一：沿如图所示路径求 u (x , y) 例3 验证 是某个函数的全微分， 并求出一个这样的函数 y x o 解： （1）沿如图所示路径求 u (x , y) 例3 验证 是某个函数的全微分， 并求出一个这样的函数 解： 方法 2：设 则有 两边关于 x 求不定积分 又 而 所以 解 所以积分与路径无关 y x o 改变积分路径： OC + CB 解 再由 得 C = 0 所以 解 再由 得 C = 0 y x o