第四章生命函数.ppt

整值剩余寿命 定义： 未来存活的完整年数，简记 概率函数 例4.1： 已知 计算下面各值： （1） （2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命。 例4.1答案 §4.4 生命期望值 生命期望值，又称平均余命，就是未来余命的期望 一、完全平均余命 二、简约平均余命 表示存活到 x岁的人群 ，平均还能存活的年数。它是x岁群未来存活总人年数被 平均后的值。即 表示出生时平均寿命，简称平均寿命。表示出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数。 假设死亡在每个年龄上都均匀分布，即 完全平均余命 在各年龄死亡均匀分布假设下，公式(3.16)中x+ 是每个年龄死亡人数的平均年龄。 是各年龄死亡人数的合计数，因此平均寿命也就是以各年龄死亡人数为权重的平均死亡年龄。 剩余寿命的期望与方差 期望剩余寿命： 剩余寿命的期望值(均值),简记 剩余寿命的方差 整值剩余寿命的期望与方差 期望整值剩余寿命： 整值剩余寿命的期望值(均值),简记 整值剩余寿命的方差 使用背景: 生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数年龄的生存状况 基本原理:插值法 常用方法 均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值) §4.5 正分数生命函数 §4.5 正分数生命函数 一、死亡均匀分布假设（UDD假设） 二、鲍德希假设（Balducci） 三、常值死力假设（CFM假设） 三种假定及其计算公式 均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值) 三种假定下的生命表函数 函数 均匀分布 常数死亡力 Ballucci 例4.2： 已知 分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值： 例4.2答案 例4.2答案 例4.2答案 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 §4.6有关寿命分布的参数模型 §4.6有关寿命分布的参数模型 死亡法则 De Moivre模型(1729) Gompertze模型(1825) §4.6有关寿命分布的参数模型 Makeham模型(1860) Weibull模型(1939) §4.7 生命表的编制与选择 一、生命表的编制方法 二、 生命表的分类 生命表起源 生命表的定义 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表. 生命表的发展历史 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。 生命表的构造 生命表的特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法） 原理 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率） 常用符号 新生生命组个体数： 年龄： 极限年龄： 生命表的构造 个新生生命能生存到年龄X的期望个数： 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数： 特别：n=1时，记作 生命表的构造 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数： 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数： 生命表实例（美国全体人口生命表） 年龄区间 死亡比例 期初生存数 期间死亡数 在年龄区间共存活年数 剩余寿命总数 期初存活者平均剩余寿命 天 0-1 .00463 100000 463 273 7387758 73.88 1-7 .00246 99537 245 1635 7387485 74.22 7-28 .00139 99292 138 5708 7385850 74.38 年 0-1 .01260 10000 1260 98973 7387758 73.88 1-2 .00093 98740 92 98694 7288785 73.82 2-3 .00065 98648 64 98617 71900