简并微扰理论.ppt

测验题 作业 讨论氢原子的相对论修正。 * 第六章 近似方法 （一）简并微扰理论 （二）实例 （三）讨论 §3 简并微扰理论 假设En(0)是简并的，那末属于 H(0)的本征值 En(0) 有 k 个归一化本征函数：| n1 , | n 2 , ......, | n k n? |n? =??? 满足本征方程： 于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的 0 级近似。所以在简并情况下，首先要解决的问题是如何选取 0 级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。 0 级近似波函数肯定应从这k个| n ? 中挑选，而它应满足上节按?幂次分类得到的方程： 共轭方程 （一）简并微扰理论 |ψn(0) 已是正交归一化 系数 c ? 由 ?一 次幂方 程定出 左乘 n ? | 得： 得： 上式是以展开系数c?为未知数的齐次线性方程组，它有不含为零解的条件是系数行列式为零，即 根据这个条件，我们选取 0 级近似波函数|ψn(0)的最好方法是将其 表示成 k 个| n k 的线性组合， 因为反正 0 级近似波函数要在| nk (? =1, 2, ..., k )中挑选。 解此久期方程 可得能量的一级修正En(1)的k个根：En?(1), ? = 1, 2, ..., k. 因为 En ? = En(0) + E(1)n ? 所以， 若这k个根都不相等，那末一级微扰就可以将 k 度简并完全消除； 若En ?(1)有几个重根，则表明简并只是部分消除， 必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。 为了确定能量 En ? 所对应的0级近似波函数，可以把 E(1)n ? 之值代入线性方程组从而解得一组c? (? = 1,2,...,k.)系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的 0 级近似波函数。 为了能表示出 c? 是对应与第 ? 个能量一级修正 En ?(1) 的一组系数，我们在其上加上角标 ? 而改写成 c? ? 。这样一来，线性方程组就改写成： 例1. 氢原子一级 Stark 效应 （1）Stark 效应 氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark 效应。 我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n 个能级有 n2 度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。 （2）外电场下氢原子 Hamilton 量 取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如, 强电场 ≈ 107 伏/米， 而 原子内部电场 ≈ 1011 伏/米，二者相差 4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。 （二）实例 （3） H0 的本征值和本征函数 下面我们只讨论 n = 2 的情况，这时简并度 n2 = 4。 属于该能级的4个简并态是： （4）求 H’ 在各态中的矩阵元 由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出微扰Hamilton 量 H’ 在以上各态的矩阵元。 我们碰到角积分 Ylm|cosθ|Ylm 需要利用如下公式： 于是: 仅当Δ? = ±1, Δm = 0 时， H’ 的矩阵元才 不为 0。因此 矩阵元中只有 H’12, H’21 不等于0。 因为 所以 欲使上式不为 0，由球谐函数正交归一性 要求量子数必须满足如下条件： （5）能量一级修正 解得 4 个根： 求零级近似波函数 （1）当 时，有 ； 则与能级 对应的零级近似波函数为： （2）当时 ，有 ， 则与能级 对应的零级近似波函数为： （3）当时 ，有 ，而 和 不同时为零，则与能级 对应的零级近似波函数为： 相当于一电偶极矩位于电场中 电矩平行于外电场 电矩反平行于外电场 电矩垂直于外电场 z y z y 定性解释： 2．氢原子电偶极矩特性 1.当 与 方向相反， ， ， ， 即是 3.当 与 相互垂直， ， ， ， 即是 或 2.当 与 方向相同， ， ， ， 即是 例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩阵形式为：H = H0 + H’， 其中 求能级的一级近似和波函数的0级近似。 解： H0