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第九章 奇异最优控制 9.1 奇异最优控制问题的提出 9.2 奇异线性二次型最优控制问题 9.3 奇异最优控制的算法 9.4 小结 奇异最优控制问题是在以下情况下产生的。对于任何最优控制问题，无论是奇异的还是非奇异的，使得哈密顿函数H取极值的弧被定义为极值弧。如果此极值弧不能使控制向量表示成状态向量和协状态向量的函数，那么问题就是奇异的，下面具体分析一下奇异最优控制问题。 9.1 奇异最优控制问题的提出 这时就没有必要在性能指标中出现 项了。此类问题与规范调节器的差别在于控制的不等式约束，且 。哈密顿函数 也是控制变量 的线性函数。若在控制区上 ， 只存在有限个零值点，则是Bang-Bang控制。如果在某一控 制区间 上满足 ，那么，控制变量在控制边界内取值总满足极小值原理。但是，由极小值原理同样很难解出最优控制的具体形式。考虑到上述线性二次型问题的最优控制一般情况下是由Bang-Bang控制和线性反馈控制两部分组成的。 所以，对于一般的Bolza问题： 9.2 奇异线性二次型最优控制问题 现在讨论如下两种情况。 综上所述，典型的最优控制包括Bang-Bang控制和奇异控制两部分：前者的开关曲面是状态空间中的一个超曲面，一般情况下它不是线性的，然而，在原点附近有一部分超曲面是有界的奇异超曲面或者有界的超平面。 9.3 奇异最优控制的算法 9.4 小结 第二段采用状态的线性反馈控制律(9-31)， 系统沿着双曲线奇异弧运动。 第三段是再一次应用 ，使系统沿着 Bang-Bang弧转移到坐标原点。 下面讨论一种控制不受约束的特殊情况(见图9-l)。这时，第一段是脉冲控制（控制的幅度为无穷大，持续时间为无穷小）。脉冲控制所对应的轨线可由下式定出 (9-32) 图9-1　最优轨线 在 相平面上，这是一条斜率为-1的直线。正的脉冲控制导致状态向右下方移动，而负的脉冲控制会使状态向左上方转移。因此，假如已知的初态为图中的 点，则最优轨线 （如图9-1所示）。利用脉冲函数的控制，系统的状态沿 等于常数的直线瞬时地由 转移到 点。 在奇异孤上，使用式(9-31)的控制律，由状态方程解得 (9-33) 的大小随时间按指数规律减小，状态按着箭头所示的方向沿奇异弧变化，当 时到达直线 。此后，再用一个负脉冲控制，系统瞬时地转移到原点。 控制过程要在规定时间 完成，即要求沿奇异弧在 时刻到达直线 ，由此条件确定哈密顿函数 的常数值 。这样，就从单参数曲线族(9-29)中找出一个特定的奇异弧。设初态为 。则由上述条件不难定出 (9-34) 式中 并可求得第一段弧与奇异弧的交点为 (9-35) (9-36) (2) 若不受限制，则奇异弧(9-29)变为 由此得两个可能的奇异弧段为 (9-37) 在弧线 上，奇异弧控制为 。由此得 (9-38) 在弧线 上，奇异控制为 ，由此得 其中 是奇异弧起始时刻。 如果控制受式(9-21)约束，则奇异弧只能限制在图9-2所示的 的范围内 图9-2 的范围 图9-3 最优轨线 将 上的控制 和 代入状态方程(9-20)，可以判定沿 的运动是远离原点的，而沿 的运动则指向原点。如果末态指定为坐标原点， 不能成为最优奇异弧。若初态落在弧线 上，则沿 从初态到原点这个弧段是最优轨线。 一般情况下，初态和末态可以是 相平面上的任何点，在这种情况下还不能预断最优解中是否包括奇异弧。然而，若末态指定为坐标原点，则对很多初态来说，最优控制既包括Bang-Bang弧段，又包括奇异弧段。 例如当初态点A为 ，原点为末态时，如图9-3所示，最优轨线的第一段是 的Bang－Bang控制正常