线性代数1.3按行(列)展开.ppt

* §1.3 行列式按行（列）展开 引入 一、定义 n阶行列式 中，划去元素aij所在的第i行和第j列元素，余下的元素按原来顺序构成一个n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记做Mij。 称 为元素aij的代数余子式。 【注】行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式. 如 四阶行列式 的余子式: 代数余子式: 12 ) 1 ( 11 1 1 11 - = - = + M A 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 2 0 1 2 1 - - - = D 2 1 1 1 1 1 1 1 3 11 - - = M =－12 四阶行列式 的余子式: 代数余子式: 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 2 0 1 2 1 - - - = D 3 2 1 0 1 1 1 0 2 1 23 - = = M 3 ) 1 ( 23 3 2 23 = - = + M A 定理: n阶行列式D＝|aij|等于它的任意一行(列) 各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 或 二、行列式展开定理 按第i行展开 按第j列展开 说明： 该定理可作为行列式的等价定义。 按某行（列）展开，本质是对行列式降阶，是降阶简化计算行列式的重要方法，特别适用于某行（列）零元较多的情形。 证明思路： (详细证明见教材) 1°两边项数相同； 2°右边各项都是 D 中的项； 3°右边各项的符号与在 D 中的符号相同。 例1 利用行列式的展开计算行列式的值 【评注】一般应选取零元素最多的行或列进行展开;或者选取一行或列,利用行列式的性质5,将这一行或列的元素尽可能多的化为零,然后按这一行或列进行展开;这样方便计算。 解 将行列式按第1列展开 D= 2 -（-2） = - 48 推论： 行列式D的任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 证明 在 中，如果令第 i 行的元素 等于另外一行，譬如第 k 行的元素，得D1 第i行 = 0. 按第i行展开得 【注】 Aij 既是D1中第i行第j列元素的代数余子式， 也是D 中第i行第j列元素的代数余子式。 综上，得公式 例2：计算范德蒙行列式 1 1 1 1 3 1 2 1 1 2 2 1 2 3 2 2 2 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 - - - - - - - - . .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . .. = n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D n-1阶范德蒙行列式 依此类推，可得： 例3：计算行列式 27 64 8 125 9 16 4 25 3 4 2 5 1 1 1 1 = D 解： ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ 4 3 2 3 2 4 5 3 5 4 5 2 - . - . - . - . - . - = D 12 = 例4 计算 【析】 按第1行或第1列展开 三、拉普拉斯（Laplace）定理 定义 在n阶行列式D=|aij|中，任意选取k行k列, (1≤k≤n),位于这些行和列交叉处的k2个元素按原来顺序组成的一个k阶行列式M，称为行列式D的一个k阶子式。 在D中，划去这k行k列后，余下的元素按原来顺序组成的一个n-k阶行列式N ，称为k阶子式M的余子式。 称为k阶子式M的代数余子式。 其中， 是k阶子式M在D中所在的行号和列号。 定理：（拉普拉斯定理）在 n 阶行列式 D中， 任意选取 k 行(1≤k≤n)，由这 k 行元素组成的所有 k 阶子式与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式 D 的值，即 Mi 是 D 的由选定的 k 行生成的子式，Ai 是 Mi 的代数余子式，i＝1，2，…t. 例5：计算