线性代数—矩阵的初等变换.ppt

练习： * 第四节 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是把“r”换成“c”)． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 逆变换 逆变换 逆变换 定义 由单位矩阵E经过一次初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。 初等矩阵有下列3种: (1) 对E施以第(1)种初等变换得到的矩阵. i 行 i 列 j 行 j 列 (2) 对E施以第(2)种初等变换得到的矩阵. (3) 对E施以第(3)种初等变换得到的矩阵. (2) 对A施以某种初等列变换, 相当于用同种的n阶初等矩阵右乘A. (1) 对A施以某种初等行变换, 相当于用同种的m阶初等矩阵左乘A. 定理 设A为 阶矩阵， 证略。 例1 初等矩阵的逆矩阵还是同类型的初等矩阵： 等价关系的性质： 如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称矩阵A和B为等价的，记作 定义 定理 任意一个 矩阵A都与一个形式为 的矩阵等价，称之为A的标准形。 证略。 将下列矩阵化为标准形 . 例2 (1) 解 若方阵A可逆，则它的标准形必为单位矩阵， 初等阵是可逆的，且其逆阵仍为初等阵，于是 其中 均为初等矩阵， 可逆阵能表成一些初等矩阵的乘积。 由 得 其中 均为初等矩阵， 可逆阵可经过若干次初等行变换化为单位矩阵。 表明： 表明： 如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵E，那么同样地用这些初等行变换就把单位矩阵E化为 利用初等变换求逆阵的方法： 解 例3 即 初等行变换 例4 解 例5 解 假设矩阵A和B 满足关系式： 其中 求矩阵B。 * * *