线性代数向量.ppt

定义1 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 一、 维向量的概念 例如 n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量 二、 维向量的表示方法 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用　　　　　　等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用　　　　等表示，如： 注意 　　１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； 　　２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 　　３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量. 向　　量 解析几何 线性代数 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 几何形象：　可随意 平行移动的有向线段 代数形象：　向量的 坐　标　表　示　式 坐标系 三、向量空间 空　　间 解析几何 线性代数 点空间：点的集合 向量空间：向量的集合 坐标系 代数形象：　向量空 间　中　的　平　面 几何形象：　空间 直线、曲线、空间 平面或曲面 一　一　对　应 叫做 维向量空间． 时， 维向量没有直观的几何形象． 叫做 维向量空间　 中的 维超平面． 　　确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 机身的水平转角 机身的仰角 机翼的转角 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 维向量的实际意义 课堂讨论 　　在日常工作、学习和生活中，有许多问题都 需要用向量来进行描述，请同学们举例说明． 四 有限个向量的向量组 1、矩阵的列向量组合行向量组都是只含有有限个向量的向量组；反之，一个含有有限个向量的向量组总是可以构成一个矩阵. m个n维列向量组成的向量组A构成 矩阵： m个n维行向量组成的向量组B构成 矩阵： 总之，含有限个向量的有序 向量可以与矩阵对应。 五 向量组的线性组合 定义：给定向量组 ，对于任何一组实数 ，表达式： 称为向量组A的一个线性组合， 称为这个线性组合的系数。 给定向量组 和向量b，如果存在一组数 ，使得： 则称向量B能由向量组A线性表示。 定理1 向量b能由向量组 线性表示的充要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩。 为了理解和证明定理1，引入概念线性表示和向量组等价. 向量组B能由向量组A线性表示，如果向量组B中的每个向量都能够由向量组A线性表示。 向量组A和向量组B等价，如果向量组A与向量组B能相互线性表示。 证明： 把向量组A和B所构成的矩阵依次记作 及 ，若B组中的每个向量 ，存在数 使得 从而有 这里， 称为这一线性表示的系数矩阵.由此，若 ，则矩阵 的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩阵： 同时C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为这一表示的系数矩阵： 设矩阵A与B行等价，即矩阵A经初等行变换变成矩阵B，则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量组都能由A的行向量组线性表示。由初等变换可逆，知矩阵B也可以经过初等行变换为A，从而A的行向量组也能由B 的行向量组线性表示。 从而，A的行向量组与B的行向量组等价。 定理2 向量组 能由向量组 线性表示的充要条件是： 推论：向量组 与向量组 等价的充要条件是： 其中