线性代数第一章第2讲.ppt

第一章 第二讲 一、行列式的性质 应用举例 （一）、余子式与代数余子式 （二）、行列式按行（列）展开法则 三、小结 得 得 中的余子式 故得 于是有 定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 例1 数理学院:陈云新 Emil:cyx529@163.com 高等数学多媒体教案 * * * 行列式的性质与计算 阶行列式定义 ： ( ) ( ) n n n np p p p p p p p p t nn n n n n a a a a a a a a a a a a D L L L L L L L L L L L L L 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 1 ? - = = 或： 可以利用定义计算：对角行列式、三角行列式等。 下三角行列式 上三角行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. 记 证明 按定义 又因为行列式D可表示为 故 证毕 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 是由行列式 变换 两行得到的, 于是 则有 故 证毕 例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 证明 性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. 则D等于下列两个行列式之和： 例如 性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 例如 例１ 计算行列式常用方法：利用运算　　　把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 解 例2 计算 阶行列式 解 将第 都加到第一列得 例3 证明 证明 例如 二、行列式的展开 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 例如 引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 例如 证 当 位于第一行第一列时, 即有 又 从而 在证一般情形, 此时