线性代数第十三讲.ppt

第四章 向量组的线性相关性 向量组及其线性组合 向量组的线性相关性 向量组的秩 线性方程组的解的结构 向量空间 习题课 第一节 向量组及其线性组合 n维向量 向量空间（第五节） 向量组 线性组合 小结 1、n 维向量的概念 2、n 维向量的表示方法 向量组 五、小结 思考题 第二节 向量组的线性相关性 线性相关性的概念 线性相关性的判定定理 例题详解 小结 作业 第108页：习题四 2；4 解 例２ 返回 作业 * 定义1 分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. n 维向量 例如 n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用　　　　　　等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用　　　　等表示，如： 注意 1.行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； 2.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算； 3.当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量. 确定飞机的状态，需要以下6个参数： 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 机身的水平转角 机身的仰角 机翼的转角 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 n 维向量的实际意义 定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 矩阵 构成一个 组 维列向量所组成的向量 个 n?m n m m , , , , 2 1 a a a L 总之，含有有限个向量的有序向量组与矩阵一 一对应。 线性组合 定义1 称为向量组A的一个线性组合， 表达式 2 2 1 1 m m k k k a a a + + + L k1，k2，…，km 称为这个线性组合的系数 则称向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示。 定理1 定义２ 从而 线性表示的系数矩阵 ， 若 B A ~ r B的行向量组可由A的行向量组线性表示 A的行向量组可由B的行向量组线性表示 按定义： 向量组B:b1,b2,…,bs能由向量组A:a1,a2,…,am线性表示， 其涵义是：存在矩阵Km?s使(b1,b2,…,bs)=(a1,a2,…,am)Km?s ，即B=AK， 也就是矩阵方程(a1,a2,…,am)X= (b1,b2,…,bs)即AX= B有解， 矩阵方程有解的充要条件是R(A)=R(A,B). 定理2：向量组 能由向量组 线性表示 的秩等于矩阵 的秩。 ?矩阵 推论：向量组 与向量组 等价?R(A)=R(B)=R(A B),其中A和B 是向量组A与B所构成的矩阵。 定理3：设向量组 能由向量组 线性表示， 则 反例： 例1：设 证明：向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示，并求出表达式。 解 线性表示。 ， ， 可由向量组 向量 3 2 1 a a a b \ ， 3 2 ) ( ) ( B R A R = = Q C为任意实数 例2: 证明 ２．向量的表示方法：行向量与列向量； ３． 向量空间： 　　解析几何与线性代数中向量的联系与区别、 向量空间的概念； １． 维向量的概念，实向量、复向量； 4 ．向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念。 5． 向量在生产实践与科学研究中的广泛应用． 　　若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用． 　　　　　　　　如果我们还需要考察其它指标， 比如平均成绩、总学分等，维数还将增加． 思考题解答 答　36维的． 0 , , , , , , , : 2 2 1 1 2 1 2 1 = + + + m m m m k k k k k k A a a a a a a L L L 使 全为零的数 如果存在不 给定向量组 定义1 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 一、线性相关性的概念 “否则”意味着： 说明: 向量组仅含一个向量 a ： 三个向量线性相关的几何意义是三向量共面. 包含零向量的任何向量组是线性相关的. 命题： 　 向量组A: （当 时）线性相关 ，也就是在向量组 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． (这个亦可作为