二阶变系数线性微分方程的一些解法.docVIP

第九节 二阶变系数线性微分方程的一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法 §9.1 降阶法 在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。 考虑二阶线性齐次方程 ＋p(x) ＋q(x)y＝0 (9.1) 设已知其一个非零特解y１，作变量替换，令 y＝uy1 (9.2) 其中u＝u(x)为未知函数，求导数有 ＝y1＋u 求二阶导数有＝y1＋2＋u 代入(9.1)式得 y1＋（2＋p(x)y1）＋(＋p(x) ＋q(x)y1)u＝0 (9.3) 这是一个关于u的二阶线性齐次方程，各项系数是x的已知函数，因为y1是(9.1)的解，所以其中 ＋p(x) ＋q(x)y1≡0 故(9.3)式化为 y1＋(2＋p(x)y1) ＝0 再作变量替换，令＝z得 y1＋(2＋p(x)y1)z＝0 分离变量 dz＝－[＋p(x)］dx 两边积分，得其通解 z＝e－∫p(x)dx 其中C2为任意常数 积分得u＝C2∫e－∫p(x)dxdx＋C1代回原变量得(9.1)的通解 y＝y1［C１＋C2∫e－∫p(x)dxdx］ 此式称为二阶线性方程的刘维尔(Liouville)公式。 综上所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一个非零特解，作二次变换，即作变换y＝y1∫zdx可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解。 对于二阶线性非齐次方程，若已知其对应的齐次方程的一个特解，用同样的变换，因为这种变换并不影响方程的右端，所以也能使非齐次方程降低一阶。 例1. 已知y１＝是方程＋＋y＝0的一个解，试求方程的通解 解 作变换 y＝y1∫zdx 则有 ＝y1z＋∫zdx ＝y1＋2z＋∫zdx 代入原方程，并注意到y1是原方程的解，有 y1＋(2＋)z＝0 即 ＝－２ctanx·z 积分得 z＝ 于是 y ＝y1∫zdx＝［∫dx＋C2］ ＝ (－C1ctanx＋C2) ＝ (C2sinx－C1cosx) 这就是原方程的通解。 §9.2 常数变易法 在第三节求一阶线性非齐方程通解时，我们曾对其对应的齐次方程的通解，利用常数变易法求得非齐次方程的通解。对于二阶线性非齐次方程 ＋p(x) ＋p(x)y＝f(x) (9.4) 其中p(x),q(x)，f(x)在某区间上连续，如果其对应的齐次方程 ＋p(x) ＋q(x)y＝0 的通解 y＝C1y１＋C２y2已经求得。 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解。 设非齐次方程(9.4)具有形式 ＝u1y1＋u２y2 (9.5) 的特解，其中u1＝u1(x)，u2＝u(x)是两个待定函数，对求导数得 ＝u1y′1＋u2y′2＋y1u′１＋y2u′2 由于用(9.5)代入(9.4)，可确定u1，u2的一个方程，为了同时确定这两个函数，还须添加一个条件，为计算方便，我们补充一个条件：y１u′１＋y2u′2＝0 这样 ＝u1y′1＋u2y′2 ＝u′1y″1＋u′2y″2＋u1y′1＋u2y′2 代入方程(9.3)，并注意到y1，y2是齐次方程的解，整理得 u′１y′1＋u′２y′２＝f(x) 与补充条件联列得方程组 因为y1，y2线性无关，即 ≠常数，所以()′＝≠0 设w(x)＝y1y′2－y2y′1，则有w(x)≠0所以上述方程组有唯一解。 解得 积分并取其一个原函数得 u1＝－∫dx u２＝∫dx 则所求特解为 ＝y1∫dx＋y2∫dx 所求方程的通解 y＝Y＋＝C1y1＋C2y2＋y1∫dx＋y2∫dx 上述求特解的方法也适用于常系数非齐次方程情形。 例1. 求方程－＝x的通解 解 先求对应的齐次方程 －＝0 的通解，由 ＝ ·d()＝dx 得 ln｜｜＝ln｜x｜＋ln｜C｜ 即 ＝Cx得通解y＝C1x2＋C2 所以对应齐次方程的两个线性无关的特解是x2和1。 为求非齐次方程的一个解将C1，C2换成待定函数u1，u2，且u1，u2满足下列方程 解上述方程得 u′1＝ u′2＝－x2 积分并取其一原