第二章 第6节第二课时 菱形的判定.ppt

* * * 本节内容 2.6 菱 形 ——2.6.2 菱形的判定 如图2-52，用4 支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？ 动脑筋 图2-52 下面我们来证明这个结论. ∵ AD = BC， AB = DC， 如图2-53，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ 四边形ABCD是菱形. 图2-53 又 AB = AD， 结论 四条边都相等的四边形是菱形. 由此得到菱形的判定定理1： 举 例 已知：如图2-54，在四边形ABCD 中，线段BD 垂直平分AC，且相交于点O，∠1 =∠2. 求证：四边形ABCD是菱形. 例2 图2-54 证明 由于线段BD垂直平分AC ， 因此BA=BC，DA=DC，OA=OC. 在△AOB和△COD中，有 ∠1 =∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC. 所以△OAB≌△OCD. 从而AB=CD. 因此四边形ABCD是菱形. (四条边都相等的四边形是菱形) 所以BA=BC=DA=DC. 图2-54 菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？ 过点O画两条互相垂直的线段AC 和BD，使得OA=OC，OB=OD. 连结AB， BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图2-55. 图2-55 动脑筋 如图2-55，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？ 图2-55 我们来进行证明. 又由于DB是线段AC的垂直平分线， 由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形. 因此，DA=DC. 从而平行四边形ABCD是菱形. 图2-55 结论 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 由此得到菱形的判定定理2： 举 例 如图2-56，在平行四边形ABCD中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求AB的长. 例3 图2-56 ∴ AB=AD=5 . 解 ∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ △DAO是直角三角形. ∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC. ∴ 平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直 的平行四边形是菱形） ∴ 又∵ AD=5，满足 ， 图2-56 1. 画一个菱形，使它的两条对角线长度分 别为4cm，3cm. 练习 提示：作一条线段长为4cm，再作该线段的垂直平分线，以垂足为一点在垂线上各取1.5cm的线段，依次连结两条线段的相邻顶点，所成四边形则为所求的菱形. 4cm 1.5cm 1.5cm 练习 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O 作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N .求证：四边形BNDM是菱形. 2. 证明 由于平行四边形ABCD， 所以 MD∥BN， ∠ADB=∠CBD， ∠DMN=∠BNM， OB=OD. 所以 △ODM≌△OBN. 所以NB=MD. 又 MD∥BN，MN⊥BD， 所以四边形BNDM是菱形. 中考 试题 例1 如图，如果要使□ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 . AB=AD或AC⊥BD等 解析 考查菱形的判定定理. 中考 试题 例2 如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P(A点除外)，过P点作EF∥AB，分别交AC、BC于E、F点， 作PM∥AC，交AB于M点，连结ME. （1）求证：四边形AEPM为菱形. （2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为 四边形EFBM面积的一半？ * *