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* * * 本节内容 2.6 菱 形 ——2.6.2 菱形的判定 如图2-52,用4 支长度相等的铅笔能摆成菱形吗?把上述问题抽象出来就是:四条边都相等的四边形是菱形吗? 动脑筋 图2-52 下面我们来证明这个结论. ∵ AD = BC, AB = DC, 如图2-53,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ 四边形ABCD是菱形. 图2-53 又 AB = AD, 结论 四条边都相等的四边形是菱形. 由此得到菱形的判定定理1: 举 例 已知:如图2-54,在四边形ABCD 中,线段BD 垂直平分AC,且相交于点O,∠1 =∠2. 求证:四边形ABCD是菱形. 例2 图2-54 证明 由于线段BD垂直平分AC , 因此BA=BC,DA=DC,OA=OC. 在△AOB和△COD中,有 ∠1 =∠2,∠AOB=∠COD,OA=OC. 所以△OAB≌△OCD. 从而AB=CD. 因此四边形ABCD是菱形. (四条边都相等的四边形是菱形) 所以BA=BC=DA=DC. 图2-54 菱形的两条对角线既互相垂直,又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发,你能画出一个菱形吗? 过点O画两条互相垂直的线段AC 和BD,使得OA=OC,OB=OD. 连结AB, BC,CD,DA,则四边形ABCD是菱形,如图2-55. 图2-55 动脑筋 如图2-55,由画法可知,四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相平分,因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直,上述问题抽象出来就是: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗? 图2-55 我们来进行证明. 又由于DB是线段AC的垂直平分线, 由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分,因此它是平行四边形. 因此,DA=DC. 从而平行四边形ABCD是菱形. 图2-55 结论 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 由此得到菱形的判定定理2: 举 例 如图2-56,在平行四边形ABCD中,AC = 6,BD = 8,AD = 5. 求AB的长. 例3 图2-56 ∴ AB=AD=5 . 解 ∵ 四边形ABCD为平行四边形, ∴ △DAO是直角三角形. ∴ ∠DOA = 90°,即DB⊥AC. ∴ 平行四边形ABCD是菱形.(对角线互相垂直 的平行四边形是菱形) ∴ 又∵ AD=5,满足 , 图2-56 1. 画一个菱形,使它的两条对角线长度分 别为4cm,3cm. 练习 提示:作一条线段长为4cm,再作该线段的垂直平分线,以垂足为一点在垂线上各取1.5cm的线段,依次连结两条线段的相邻顶点,所成四边形则为所求的菱形. 4cm 1.5cm 1.5cm 练习 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O 作MN⊥BD,分别交AD,BC于点M,N .求证:四边形BNDM是菱形. 2. 证明 由于平行四边形ABCD, 所以 MD∥BN, ∠ADB=∠CBD, ∠DMN=∠BNM, OB=OD. 所以 △ODM≌△OBN. 所以NB=MD. 又 MD∥BN,MN⊥BD, 所以四边形BNDM是菱形. 中考 试题 例1 如图,如果要使□ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是 . AB=AD或AC⊥BD等 解析 考查菱形的判定定理. 中考 试题 例2 如图,已知等腰△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于D点,在线段AD上任取一点P(A点除外),过P点作EF∥AB,分别交AC、BC于E、F点, 作PM∥AC,交AB于M点,连结ME. (1)求证:四边形AEPM为菱形. (2)当P点在何处时,菱形AEPM的面积为 四边形EFBM面积的一半? * *
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