第二章第十三节定积分与微积分基本定理.pptVIP

【规范解答】(1)求曲线 与直 线x=a,y=0所围成封闭图形的面积， 即 解得a= . 答案: (2)方法一：如图， 由 得交点A(2,2)，B(8，－4)， 则 方法二： 答案：18 (3)由 得 所求旋转体的体积等于由 x轴所围成的图形绕x轴旋转一周形成的旋转体 体积与由y=x3，x=1以及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周形 成的旋转体体积之差： 答案： 【互动探究】在本例题(1)中，将“直线x=a,y=0”改为“直线y=x-2，y轴”，其他条件不变，则a的值为_____________. 【解析】 与y=x-2以及y轴所围成的图形为如图所示 的阴影部分， 联立 得交点坐标为(4,2)，故所求面积为 即 又由a＞0，解得 答案： 【拓展提升】利用定积分求平面图形面积的四个步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像. (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限. (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和. (4)计算定积分，写出答案. 【提醒】利用定积分求平面图形的面积，一定要找准积分上限、下限及被积函数，当图形的边界不同时，要分情况讨论. 【变式备选】(1)曲线y＝sin x(0≤x≤π)与直线 围成的封闭图形的面积是 ( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选D.由sin x＝ 与0≤x≤π得x＝ 或 ，所 以曲线y＝sin x(0≤x≤π)与直线y＝ 围成的封闭图形的 面积是 (2)函数f(x)＝ 的图像与x轴所围成的封闭 图形的面积为_______________. 【解析】 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为 答案： 考向 3 定积分在物理中的应用 【典例3】(1)(2013·南宁模拟)一 辆汽车的速度-时间曲线如图所示， 则该汽车在这一分钟内行驶的路程 为______米． (2)(2013·福州模拟)一物体按规律x＝bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方(比例系数为k,k＞0)．则物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功为____________. 【思路点拨】(1)先求出v与t的函数关系式，再求v关于t的 积分.(2)先求出物体的速度及媒质阻力Fzu，再由 可 得阻力所做的功. 【规范解答】(1)根据题意，v与t的函数关系式如下： 所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为 =900(米). 答案：900 (2)物体的速度 媒质阻力Fzu=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4. 当x=0时，t=0；当x=a时， 又dx=vdt，故阻力所做的功为： 答案： 【拓展提升】定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度 为v=v(t)，那么从时刻 t=a到t=b所经过的位移 (2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相 同方向从x=a移动到x=b时，力F(x)所做的功是 【变式训练】一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(m/s)运动．求： (1)在t＝4 s的位置. (2)在t＝4 s内运动的路程． 第十三节 定积分与微积分基本定理 1.定积分的定义 一般地，给定一个在区间［a,b］上的 函数y=f(x),其图像如图所示. (1)将［a,b］区间分成n份，分点为： a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b, 第i个小区间为__________,设其长度为Δxi. ［xi-1,xi］ (2)在这个小区间上取一点ξi,使f(ξi)在区间［xi-1,xi］ 上的值_____，设S=___________________________________ ______________. (3)在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在区间 ［xi-1,xi］上的值_____，设 s=___________________________________________________. 最大 f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi +…+f(ξn)Δxn 最小 f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)·Δxn (4)如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于__，S与s的 差也趋于__，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我 们就称A是函数y=f(x)在区间［a,b］上的定积分，记作 ____________,即______