第二章近世代数简介.pptVIP

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第二章 近世代数简介 千里之行,始于足下。 ——孔子 2.1 群、环、域 1 群 2 环 3 域 1 群 定义 对于一个非空元素集合G以及定义在G上的一种运算“*”(这里的*泛指任一种代数运算,如 模m加 ,模m乘 等),若满足以下四个条件: ①封闭性(Closure),即 (Forevery) ②结合性(Associativity),即 ③存在惟一的一个单元e(Identity),即 ④G中的每个元素各自存在惟一的逆元(Inverse),即 这里, 泛指逆元,不能狭义的理解为就是1/a。 则称这样的代数系统为群(Group),记做(G,*)。 若再满足第五个条件: ⑤交换律,即 则称这样的代数系统为交换群(Commutative Group),也称阿贝尔群(Abelian Group)。 如果群(G,*)中的运算*是加法,则称群(G,+)为加群(Additive Group)。加群一定是交换群。加群中一定包含零元素,零元素正是该加群的单位元e。加群元素a的逆元 是代数中的-a。 如果群(G,*)中的运算*是乘法,则称群(G,.)为乘群(Multiplicative Group)。乘群中一定不包含零元素,因为零元素不存在乘法运算下的逆元。乘法不一定是交换群。乘法的单位元是1,乘法元素a的逆元 是代数中的1/a. 如果群(G,*)中包含无数个元素,则称该群为无限群。 如果群(G,*)中包含有限个元素,则称该群为有限群。构成有限群的元素的个数称为该群的阶。 如果在群(G,*)中,集合G的非空子集S在同样的运算*下可构成群(S,*),则称群(S,*)为群(G,*)的子群(Subgroup)。 (S,*)为(G,*)子群的充要条件是:对于 充要条件的这种表述形式,强调了子群元素逆元的存在性以及子群的封闭性。 如果群(G,*)是有限群,则其子群(S,*)也是有限群,且子群的阶数一定是(G,*)阶数的因子。上述性质是由拉格朗日定理(Lagranges)给出的。 若(A,*)和(B,*)分别是(G,*)的两个子群,则A和B的交集在同样运算下也构成(G,*)的子群 。 群(G,*)的任意个子群的交集也是(G,*)的子群。 某一元素a(称作生成元a)的一切乘幂 的全体组成一个群,称为循环码,写做 其中 是单位元。 若序列 中没有两个元素是相等的,称之为无限循环码。 若上述序列中有两个相等的元素 可推出G元素必以n为周期重复,即 ,这样的循环群为有限循环群,写做 循环群也叫幂群,具有以下性质:循环群是交换群;循环群的子群 仍是循环群;n阶有限循环群的子群的阶数一定是n的因子。 例2.1 若R表示有理数集合,I表示整数集合,E表示偶数集合,则 在加法运算下,(R,+),(I,+)和(E,+)均构成加群,且(I,+)和(E,+)是(R,+)的子群, (E,+)也是(I,+)的子群。该加群的单位元是0。作为对比,奇数集合O在加法运算下构不成群,因为它不满足①要求的封闭性。 例2.2 若G表示去除0后的有理数集合,则验证条件①~ ⑤后可断言:G在乘法运算下构成(G,.),该乘群又是交换群。 例2.3 集合G={0,1,2,……,m-1}在模m加(用符号 表示)运算下构成一个加群(G, )。该加群是m阶有限群,单位元是0。0的逆元是0,1的逆元是m-1,2的逆元是m-2,……。 例2.4 集合G={1,2,……,q-1}在模q乘(q是素数)运算下构成一个乘群(G, )。这里,符号 表示模q乘。该乘群是q-1阶有限

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