第二节二重积分的计算法.ppt

一、利用直角坐标系计算二重积分 三、小结 【注】2. 利用例2可得到一个在概率论与数理统计中 以及工程上非常有用的反常积分公式 事实上, 当D 为 R2 时, 利用例2的结果, 得 ① 故①式成立 . * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 一、利用直角坐标计算二重积分 三、小结 思考题 第二节 二重积分的计算法 二、极坐标系下二重积分的计算 【复习与回顾】 (2)回顾一元函数定积分的应用 平行截面面积为已知的立体的体积的求法 体积元素 体积为 在点x处的平行截面的面积为 (1)上节思考题 代替 ？ 不能用 其中函数 、 在区间 上连续. (1)［X－型域］ 【X—型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 1. 【预备知识】 (2)［Y－型域］ 【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. (3)［既非X－型域也非Y－型域］如图 在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域) 则必须分割. 由二重积分积分区域的可加性得 (1).若积分区域为X－型域： 2.【二重积分公式推导】 【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求. 即得 公式1 3.【二重积分的计算步骤可归结为】 ①画出积分域的图形，标出边界线方程； ②根据积分域特征，确定积分次序； ③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。 公式2 【说明】(1)使用公式1必须是X－型域， 公式2必须是 (2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序. 则有 (3) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域. Y－型域. 4. 【例题部分】 【例1】 【解Ⅰ】 看作X－型域 1 2 o x y y=x y=1 D x 【解Ⅱ】 看作Y－型域 1 2 o x y x = y x=2 D y 1 2 【例2】 【解】 D既是X—型域又是—Y型域 ［法1］ －1 1 1 x o y=x D x y ［法2］ 注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便 －1 1 1 y o y=x D －1 x y 注意两种积分次序的计算效果！ 【例3】 【解】 D既是X—型域 又是Y—型域 先求交点 ［法1］ ［法2］ 视为X—型域 计算较繁 本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！ 【小结】 以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(易积) 5.【简单应用】 【例4】 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V. 【解】 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 【例5】 【解】 据二重积分的性质4（几何意义） 交点 6.【补充】 改变二次积分的积分次序例题 【补例1】交换下列积分顺序 【解】 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则 【解】 【补例3 】 【解】 当被积函数中有绝对值时，要考虑 积分域中不同范围脱去绝对值符号。 ［分析］ 二、极坐标系下二重积分的计算 从而得极坐标系下的面积元素为 又由点的极坐标与直角坐标之间的关系， 故在极坐标下，二重积分化为 则 二重积分极坐标表达式 【注意】极坐标系下的面积元素为 直角坐标系下的面积元素为 区别 2.二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 （1）极点O在区域D的边界曲线之外时 若区域特征如图 特别地 （2）极点O恰在区域D的边界曲线之上时 区域特征如图 （1）的特例 3. 极坐标系下区域的面积 区域特征如图 （3）极点O在区域D的边界曲线之内时 （2）的特例 【解】 【解】 x y o 的原函数不是初等函数 ,故本题无法 【注】1.由于 用直角坐标计算.