自动控制原理(5-3).ppt

自动控制原理 朱亚萍 zhuyp@hdu.edu.cn 杭州电子科技大学自动化学院 5.4 频域稳定判据和系统的相对稳定性 映射定理（幅角定理） Nyquist稳定判据 虚轴上有开环极点的Nyquist稳定判据 对数频率稳定判据 系统的相对稳定性和稳定裕度 假设s平面上除了有限奇点之外的任一点s，复变函数F(s)为解析函数，那么，对于s 平面上的每一解析点，在F(s) 平面上必定有一个对应的映射点（s平面和F(s)平面之间的对应关系）。 因此，如果在s平面画一条封闭曲线Γs，并使其不通过F(s) 的任一奇点，则在F(s) 平面上必有一条对应的映射曲线ΓF，如下图所示： 两点说明： 若在s平面上的封闭曲线Γs是沿着顺时针方向运动的，则在F(s)平面上的映射曲线ΓF的运动方向可能是顺时针的，也可能是逆时针的，这取决于F(s) 函数的特性； 我们感兴趣的不是映射曲线ΓF的形状，而是它包围坐标原点的次数和运动方向，因为这两者与系统的稳定性密切相关（都与F(s) 的相角变化有关系）。 假定在s 平面上的封闭曲线Γs包围了F(s) 的一个零点z1，而其他零极点都位于封闭曲线之外； 当s沿着s平面上的封闭曲线Γs顺时针方向移动一周时，向量(s－z1)的相角变化－2π弧度，而其他各相量的相角变化为零，这意味着在F(s)平面上的映射曲线ΓF沿顺时针方向围绕着原点旋转一周，即向量F(s)的相角变化了－2π 弧度。 若s平面上的封闭曲线Γs包围着F(s) 的Z个零点，则在F(s)平面上的映射曲线ΓF将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周； 用类似分析方法可以推论，若s平面上的封闭曲线Γs包围了F(s) 的P个极点，则当s沿着Γs顺时针移动一周时，在F(s) 平面上的映射曲线ΓF将按逆时针方向围绕着原点旋转P周。 映射定理：设s平面上的封闭曲线Γs包围了复变函数F(s) 的P个极点和Z个零点，并且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点，则当复变量s沿封闭曲线Γs顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线ΓF按逆时针方向包围坐标原点P－Z周。 可见，F平面上曲线绕原点的周数和方向与s平面上封闭曲线包围F(s)的零极点数目有关。 称如下F(s)为辅助函数 为了判断闭环系统的稳定性，需要检验F(s) 是否有位于s 平面右半部的零点。为此可以选择一条包围整个s 平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲线，通常称为Nyquist回线，简称乃氏回线。 乃氏回线由两部分组成： 设复变函数F(s)在s平面的右半部有Z个零点和P个极点。根据映射定理，当s沿着s平面上的乃氏回线移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线CF将按逆时针方向围绕坐标原点旋转N = P－Z周。 由于闭环系统稳定的充要条件是，F(s)在s平面右半部无零点，即Z＝0。因此可得以下的稳定判据： Nyquist稳定判据（第一种表述方法）：如果在s平面上，s沿着乃氏回线顺时针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线CF围绕坐标原点按逆时针方向旋转N = P周，则系统是稳定的（P为不稳定开环极点的数目）。 如果N≠P，说明闭环系统不稳定。闭环系统分布在右半s平面的极点数Z＝P－N。 如果开环稳定，即P=0，则闭环系统稳定的条件是：映射曲线CF 围绕坐标原点的圈数为N=0。 这意味着F(s)的映射曲线CF围绕原点运动的情况，相当于G(s)H(s)的封闭曲线CGH围绕着 (－1，j 0)点的运动情况。 绘制映射曲线CGH 的方法是： 对应于C1的映射曲线：令s＝jω代入G(s)H(s)，得到开环频率特性G(jω)H(jω)，画出乃氏图，再画出其对称于实轴的、ω从0变到－∞的那部分曲线。 对应于 的映射曲线：由于在实际系统中n≥m，当n＞m时G(s)H(s) 趋近于零，n＝m时G(s)H(s)为实常数。 因此，绘制出ω从－∞变化到＋∞的开环频率特性，就构成了完整的映射曲线CGH 。 Nyquist稳定判据（第二种表述方法）：闭环控制系统稳定的充分和必要条件是，当ω从－∞变化到＋∞时，系统的开环频率特性G(jω)H(jω)按逆时针方向包围(－1, j0）点N＝P周，P为位于s平面右半部的开环极点数目。 如果N≠P，说明闭环系统不稳定。闭环系统分布在右半s平面的极点数Z＝P－N。 如果开环稳定，即P=0，则闭环系统稳定的条件是：映射曲线CGH围绕（－1，j0）的圈数为N=0。 虚轴上有开环极点的情况通常出现在系统中有串联积分环节的时候，即在s平面的坐标原点有开环极点。 这时不能直接应用前面给出的乃氏回线，因为映射定理要求此回线不经过F(s)的奇点！ 为了在这种情况下应用乃氏判据，可以选择新的乃氏回线。 两种乃氏回线的区别仅在于：虚轴