欧拉与自然数平方倒数和.pdf

维普资讯 第 28卷 第 4期 曲 阜 师 范 大 学 学 报 Vo1．28 No．4 2002年 10月 Journal of Qufu Normal University Oct．2002 欧拉与 自然数平方倒数和 汪晓勤 (作者 ：男，36岁 ，博士，副教授 ；华东师范大学数学系，200062，上海市) 摘要 ：自然数平方倒数和是 17世纪下半叶的著名数学难题之一，它困惑着欧洲当时一流的数学家．欧 拉凭借类 比思维方法 ，出人意料地解决 了这个难题 ．该文对欧拉的几种鲜为人知的方法——幂级数法和 “吉 拉尔一 牛顿公式”在作了考察和分析． 关键词 ：欧拉；平方倒数和；伯努利数 中图分类号 ：011 文献标识码：A 文章编号 ：1001—5337(20o2)04—0029—05 平方倒数求和最早 出现于 17世 纪意大利数学 得不 同的解法 ．对欧拉 的工作 ，国内很少见到专文 家蒙哥利 (MengoliP，1626～1686)的算术求和新 介绍 ，美国著名数学史家 M ·克莱因在古今数学思 法)(Novaequadraturaearithmeficae，1650)．无穷级数 想[2]中亦语焉不详．直到今天，对这一课题作研究 1 的仍不乏其人，本文试 图对欧拉的工作作一考察和 (2)= 专 (1) l Z 分析，以供教学和研究参考 ． 是书中所论形数倒数求和 问题 中的一个特殊情形 ． 在发表于 1689年的论文 “具有有限和 的无穷级 1 根与系数的关系 数 的算术命题 ”中，瑞士著名数学家雅各 ·伯努利 (JacobBernoulli，1654～1705)部分重复了蒙哥利的 1735年 ，欧拉利用方程 无穷级数工作 ，在论文最后 ，伯努利称 ，尽管级数 slnx — — = 0 (2) + 号+1+ +1+… 或 尢 穷 多项 方 程 的求和问题易如反掌 ，但奇怪的是，(1)式的和却难 以 6 求 出．他说 ：“如果有谁解决 了这个迄今让我们束手 1一 + 一 +… =0 (3) 无策的难题 ，并告知我们 ，我们