第二部分第5课时.ppt

* * 第二部分第五课时： 方程与几何的综合 思想方法提炼 感悟、渗透、应用 课时训练 思想方法提炼 1.充分利用一元二次方程根与系数的关系及其判别式等 知识解决有关几何问题； 2.能熟练地将方程的根与几何图形中的线段联系起来， 通过方程的性质和几何图形的性质实行转化. 感悟、渗透、应用 【例2】已知AB是半圆O的直径，AC切半圆于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE，垂足是E，BD=10，DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE＜BE)，求AC的长. 【解析】 已知半径，一般先构造90°的圆周角， 故可以连AD，由此可容易 推得Rt△BDA∽Rt△BAC∽Rt△BED，由一元二次方程根与系数关系和勾股定理建立关于DE、BE、m的方程组，解之，于是Rt△BED可解.欲求AC，只要先求出AB，而这通过相似三角形易求得. 解：∵DE、BE是方程x2-2(m+2)x+2m2-m+3=0的两个根(DE＜BE)且BE⊥DE，BD=10 连接AD，∵AB是直径∴∠ADB=90° ∵DE是⊙O的切线∴∠EDB=∠DAB ∴Rt△BDE∽Rt△BAD ∴∠ABC=∠DBE， ∴ ∴AB= ∵AC切⊙O于A∴∠CAB=90° ∴Rt△CAB∽Rt△DEB ∴ ∴AC= 【例3】已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5. (1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形? (2)k为何值时，△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长. 【分析】AB、AC是方程的两根，则根据根与系数的关系以及△ABC是以BC为斜边的直角三角形联立关于k的方程，即可求得k的值；而△ABC为等腰三角形，则要通过分类讨论三种情形，并且使分类不重不漏，再由其他条件确定k值，从而求得等腰三角形的周长. 解：(1)∵AB、AC是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根 ∴AB+AC=2k+3，AB·AC=k2+3k+2 又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5 ∴AB2+AC2=BC2∴(AB+AC)2-2AB·AC=25 即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25 ∴k2+3k-10=0∴k1=-5或k2=2 当k=-5时，方程为x2+7x+12=0 解得x1=-3，x2=-4(舍去) 当k=2时，方程为x2-7x+12=0 解得x1=3，x2=4 ∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形. (2)若△ABC是等腰三角形，则有①AB=AC，②AB=BC，③AC=BC三种情况. ∵Δ=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1＞0 ∴AB≠AC，故第一种情况不成立； 当AB=BC，或AC=BC时，5是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的根 即25-5(2k+3)+k2+3k+2=0k2-7k+12=0 ∴k1=3或k2=4 当k=3时，x2-9x+20=0，x1=4，x2=5 ∴等腰三角形的三边长分别是5、5、4，周长是14. 当k=4时，x2-11x+30=0∴x1=5，x2=6 ∴等腰三角形的三边长分别是5、5、6，周长为16， 故当k=3或k=4时，△ABC为等腰三角形，周长分别为14或16. 【例4】已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，tan A、tan B是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根， 求：(1)求k的值；(2)若c=10，且a＞b，求a、b的值. 【分析】利用根与系数的关系列方程即可求k的值；再利用三角函数知识可求出a、b的边长. 解：(1)∵tan A·tan B=12k2-37k+26 则由∠C=90°知A+B=90°即tan A·tan B=1 ∴12k2-37k+26=1∴(12k-25)(k-1)=0 ∴k=25/12或k=1 当k=1时 ，方程变为x2-x+1=0因Δ＜0∴不合题意舍去 当k=25/12，方程变为x2-25/12x+1=0 因Δ＞0∴成立 ∴k的值为25/12. (2)又∵tan A+tan B=k∴tan A+ ∴(tanA)2- (tan A)+1=0∴12(tan A)2-25(tan A)+12=0 ∴tan A=3/4或tan A=4/3 又∵a＞b∴tan A=a/b＞1∴tan A=4/3 ∴ 【例5】如图所示，锐角三角形ABC内接于⊙O，高AD、BE交于点H，过点A引圆的切线与直线BE交于点P，直线BE交⊙O于另一点F，AB12的长是关于x的方程 x2- x+ (sin2C- sin