第五章 解线性方程组的直接方法.ppt

解三角方程 Gy=b , GTx=y 可得 解 例4 解线性方程组 平方根法是求对称正定系数线性方程组的三角分解法,对称正定矩阵的Cholesky分解的计算量和存贮量均约为一般矩阵的LU分解的一半. 且Cholesky分解具有数值稳定性. 追赶法是求三对角线性方程组的三角分解法.即方程 三对角矩阵A的各阶顺序主子式都不为零的一个充分条件是: |a1||c1|0 ; |an||dn|0 ; |ai|?|ci|+|di| , cidi? 0 ,i=2,3,…,n-1. 在此条件下, A=LDM=TM , 称之为矩阵A的Crout分解. 对三对角矩阵A进行Crout分解,有 §2.4 追 赶 法 其中 解三角方程 Ty=b , Mx=y 可得 称之为解三对角方程组的追赶法. 解 例5 解线性方程组 当满足条件 |a1||c1|0 ; |an||dn|0 ; |ai|?|ci|+|di| , cidi? 0 ,i=2,3,…,n-1. 时, 追赶法是数值稳定的, 追赶法具有计算程序简单, 存贮 量少,计算量小的优点. §3 向量和矩阵的范数 §3.1 向量的范数 定义2.1 设‖?‖是向量空间Rn上的实值函数, 且满足条件: (1)非负性: 对任何向量x?Rn ,‖x‖?0 ,且‖x‖=0当 且仅当x=0 (2)齐次性: 对任何向量x ?Rn 和实数? , ‖?x‖=|? |‖x‖ (3)三角不等式: 对任何向量x ,y?Rn ‖x+y‖?‖x‖+‖y‖ 则称‖?‖为空间Rn上的范数,‖x‖为向量x的范数. 记x=(x1,x2,…,xn)T, 常用的向量范数有: 向量的1-范数:‖x‖1=|x1|+|x2|+…+|xn| 向量的2-范数:‖x‖2= 向量的?-范数:‖x‖?= 例6 设向量x=(2,-4,3,1)T, 求向量范数‖x‖p ,p=1,2, ?. 解 由定义‖x‖1=10 , ‖x‖2= ,‖x‖?=4 . 虽然不同范数的值可能不同，但它们间存在等价关系. 定理2.2 (范数的等价性) 对于 Rn 上的任何两种范数 ‖?‖?和‖?‖? ,存在正常数m,M,使得 m ‖x‖?? ‖x‖? ?M ‖x‖? ,? x?Rn * 第4章 解线性方程组的直接法 本章讨论n元线性方程组 （1） 的直接解法。方程组(1)的矩阵形式为 Ax=b 其中 若矩阵A非奇异,即det(A)≠0,则方程组(1)有唯一解。 所谓直接解法是指，若不考虑计算过程中的舍入误差， 经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解的方法。 但由于实际计算中舍入误差的存在，用直接解法一般也只 能求出方程组的近似解。 Cramer法则是一种不实用的直接法，下面介绍几种实 用的直接法。 §1 Gauss消去法 Gauss消元法是一种规则化的加减消元法，其基本思 想是通过逐次消元计算，把一般线性方程组的求解转化为 等价的上三角形方程组的求解。 §1.1 顺序Gauss消去法 为了清楚起见,先看一个简单的例子. 考虑线性方程组 消去后两个方程中的x1得 再消去最后一个方程的x2得 消元结束,经过回代得解: 上述求解的消元过程可用矩阵表示为: (A,b)= 这是Gauss消去法的计算形式,新的增广矩阵对应的线性 方程组就是上三角形方程组,可进行回代求解。 现在介绍求解线性方程组（1)的顺序Gauss消去法: 记 则,线性方程组(1)的增广矩阵为 第一步.设 ,依次用 乘矩阵的第1行加到第i行,得到矩阵: 其中 第二步.设 ,依次用 乘矩阵的第2行加到第i行,得到矩阵: 其中 如此继续消元下去,第n-1步结束后得到矩阵: 这就完成了消元过程。 对应的方程组变成： 对此方程组进行回代，就可求出方程组的解。 顺序Gauss消去法通常也简称为Gauss消去法. 顺