第五章第五节二次型及其标准形.ppt

* 返回 §5 二次型及其标准形 三、用配方法化二次型为标准形 二、二次型在可逆变换下的变化情况 一、二次型的矩阵表示 例. 有心二次曲线方程 ① 可取适当的转轴变换: ② 方程①可化成标准方程 ③ 一、二次型的矩阵表示 特点: (1). 变换阵 (2). 可逆变换不改变常数(项). 实质: 经变换② 二次齐次多项式,有交叉项. 二次齐次多项式, 无交叉项. 定义11. 二次型是指 二次齐次函数(二次齐次多项式). f 可写成: 即 记 註: (2). A的对角线上的元素是 f 中的平方 项的系数. A的右上角是 f 中交叉 项系数的一半. 例1. 例2. 写成矩阵表示. 3 7 3 5 -1 5 5 -1 5 例3. 写成矩阵表示. 1 -1 0 1 2 2 -1 0 1 -1 2 2 0 -1 1 -1 A X (1) A为n 阶实对称阵. 可逆变换: (2) 二、二次型在可逆变换下的变化情况 即 P |P|≠0 X = PY. (3) 要把 f 化成标准形: 若把标准形写成矩阵, 则 0 0 把(3)代入(1), 有 证明: 若A为对称阵, [註]: 性质表明, 经可逆变换 X =PY 后, 二次型 f 的矩阵变为 其秩不变. 性质: 任给可逆阵P,令 若A为对 称阵,则B为对称阵, 定理十:任给二次型 总有正交 变换X = PY , 使 f 化为标准形 证明: 据定理九, 总有正交阵P, 使 0 0 代入 0 0 证毕. 例4. 化二次型 为标准形. 解: 利用 f 的矩阵A的特征值写出 f 的标准形. f 的矩阵为: A的特征多项式: 例5.试确定一个正交变换X=PY,将二次型 化为标准形. 解: f 的矩阵为: * 返回