第五节二次型及其标准形.ppt

问题的提出 主要内容 二次型的概念 主要结论 第 五 节 二次型及其标准形 合同矩阵 举例 在解析几何中, 为了便于研究二次曲线 把方程化为标准形 的几何性质, 我们可以选择适当的坐标旋转变换 ax2 + bxy + cy2 = 1 (1) 一、问题的提出 变量的二次齐次多项式的化简问题. (1) 式的左边是一个二次多项式, 从代数学的 观点看, 化标准形的过程就是通过变量的线性变 换化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项. 这样一个问题, 在许多理论问题或实际问题中常 会遇到. 现在我们把这类问题一般化, 讨论 n 个 于是 (2) 式可写成 二、二次型的概念 定义 8 称 n 个变量的二次齐次式 f(x1 , x2 , ··· , xn ) = a11x12 + a22x22 + ··· + annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ··· + 2an-1,nxn-1xn (2) 为二次型. 取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi , f(x1 , x2 , ··· , xn) = a11x12 + a12x1x2 + ··· + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + ··· + a2nx2xn + ··· ··· ··· ··· + an1 xnx1 + an2xnx2 + ··· + annxn2 若记 A = (aij)n×n , x = (x1 , x2 , ··· , xn)T , 则 关系. (2) 式所表示的二次型可以表示成 其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩 阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. 这样, 实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的 例 22 已知二次型 写出二次型的矩阵 A , 并求出二次型的秩. 显然， 解 设 f = xTAx , 则 例 23 已知二次型 写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩. 单击这里求秩 解 设 f = xTAx, 则 的标准形中所含的项数即为该二次型的秩. 定义 如果一个二次型只含变量的平方项， 则称这个二次型为标准形(或法式) . 对于二次型，我们讨论的主要问题是： 寻求 可逆的线性变换 x = Cy，把二次型化为标准形. 二次型的秩的意义是： 一个二次型 如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中 取值，则称之为规范形. 三、合同矩阵 1. 定义 定义 9 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆 矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同. 2. 性质 定理 任给可逆矩阵 C ，令 B = CTAC ， 如果 A 为对称矩阵，则 B 亦为对称矩阵，且 R(B) = R(A). 此定理说明经可逆变换 x = Cy 后, 二次型的 矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC , 且二次型 的秩不变. 就是要使 要使二次型经可逆变换 x = Cy 变成标准形, 使 CTAC 为对角矩阵. 也就是要使 CTAC 成为对角矩阵. 因此, 我们的主 要问题就是， 对于对称矩阵 A , 寻求可逆矩阵 C,