第八章 第六课时.ppt

为M，N，O三点不能共线，故应除去M，N，O三点共线时所求的N点坐标对应的P点的坐标，即 和 . 因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点： 和 . 教师用书备选题 　 已知圆的方程是：x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R. (1)求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点； (2)求与圆相切的直线方程； (3)求圆心的轨迹方程． 解析：(1)证明：将方程x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0 整理得x2＋y2－4y＋2－a(2x－2y)＝0， 令 ，解之得 ， ∴定点为(1,1)． (2)易得已知圆的圆心坐标为(a,2－a)，半径为|a－1|. 当k不存在时，切线为：x＝a± |a－1|(a≠1)． 当k存在时，设所求切线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，则圆心到直线的距离应等于圆的半径， 即 ＝ |a－1|恒成立． 整理得2(1＋k2)a2－4(1＋k2)a＋2(1＋k2)＝(k＋1)2a2＋2(b－2)(k＋1)a＋(b－2)2恒成立． 比较系数可得 解之得k＝1，b＝0.所以，所求的切线方程是y＝x. (3)圆心坐标为(a,2－a)，又设圆心坐标为(x，y)，则有 ， 消去参数得x＋y＝2为所求的圆心的轨迹方程． 点评：本题是含参数的圆的方程，与圆的参数方程有本质的区别．当参数取某一确定的值时，方程表示一个确定的圆，当a变动时，方程表示圆的集合，即圆系．解本题(1)可用分离系数法求解；(2)可用待定系数法求解；(3)可用配方法求解． 一般地，过两圆C1：f(x，y)＝0与C2：g(x，y)＝0的交点的圆系方程为：f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ为参数)． 变式探究 7．设方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0① (1)m为何值时，方程①表示圆？ (2)m为何值时，方程①表示的圆的半径最大？ (3)方程①表示圆时，求圆心的轨迹方程． 解析：(1)将方程①变形成类似于圆的标准方程 [x－(m＋3)]2＋[y－(4m2－1)]2＝－7m2＋6m＋1，由－7m2＋6m＋1＞0，即7m2－6m－1＜0 得－ ＜m＜1，即当－ ＜m＜1时，方程①表示圆． (2)由(1)得r2＝－7m2＋6m＋1＝ 故当m＝ 时圆的半径的最大值为 ，此时圆的方程是 (3)设圆心为C(x，y)，由方程①有 ， m∈ ，消去m得 y＝4x2－24x＋35 .即为所求圆心轨迹方程． 1．不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值． 2．求圆的方程的一般步骤 (1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程)； (2)根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组； (3)解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程． 3．解析几何中与圆有关的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算． 4．在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项只是表示圆的必要条件而不是充分条件． 5．如果问题中给出了圆心与两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程．如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程． 6．在一般方程中，当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点 ，当D2＋E2－4F0时，无轨迹． 高考总复习·文科·数学 　第八章　直线与圆的方程 　 第六课时　圆的方程 　　掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 考纲要求 知识梳理 一、圆的标准方程 设圆心C的坐标为(a，b)，半径是r，则