第六章 非线性方程(组)的求解.ppt

* 第六章 非线性方程（组）的求解 若n=1,称为方程求根问题；n1称为方程组求解。 理论问题： （1）解的存在性。即有解还是无解，有多少解。 （2）解的邻域性态。即孤立解的区域，解的重数，光滑性。 关于解的存在性及其性态，不是数值分析所讨论的问题。我们总认为： 任务是如何求得这个 下面分别讨论方程求根和非线性方程组求解的算法。 §6.1 非线性方程求根 function [x,n]=erfenfaqiugen(f_name,a,b,epsl) %求方程f(x)=0在有解区间[a,b]的根，满足f(a)*f(b)0. x=(a+b)/2; f=feval(f_name,x); n=1; while b-xepsl if abs(f)1e-8,break,end; if f*feval(f_name,a)0 a=x; else b=x; end x=(a+b)/2; f=feval(f_name,x); n=n+1; end 注： 1）二分法只能求奇数重的实根。 2）二分法线性收敛，收敛因子为1/2。 3）二分法可用来划分有解区间，这应是它的最大优点。 二、一般迭代法 定理一的条件太强，不便于实际应用。下面给出一个局部收敛定理。 一般迭代法只有理论上的意义，因为迭代函数 通常不易构造。 三、牛顿迭代法 称算法（6-1-1）为牛顿迭代法。 关于初值的问题： 一般来说采用试探法，但对于一些实际问题初值的选择并不困难，它是明确的。 关于重根的问题： 重根时的改进： 关于导数计算的处理： 31 20 36 5 5 26 迭代次数 离散2 离散1 离散 改进2 改进1 牛顿 方法 说明：epsl=1e-8,x0=1.5,m= [n,x]=newtonfa(ff14,1.5i,0.0001); n = 5 x = -0.0000 + 1.0000i 说明牛顿法也可求复数根 四、加速收敛技术 [n,x]=steffensen(ff14,1.5,0.0001) n = 4 x = 1.0000 [n,x]=newtonfa(ff14,1.5,0.0001); n = 39 x = 1.0004 [n,x]=newtonfa(ff14,1.5,0.0001); n = 61 x = 1.0009 [n,x]=steffensen(ff14,1.5,0.0001) n = 3 x = 1.0000 五、代数方程的求根 计算f(x)的秦九韶算法： 计算f(x) 计算df/dx(x) 然后采用steffensen迭代，其中 §6.2 解非线性方程组的牛顿迭代法 *