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第六节 线性微分方程解的结构 一、二阶线性微分方程举例 二、线性齐次微分方程的解的结构 定义 三、线性非齐次微分方程解的结构 四、小结 * 二、线性齐次微分方程解的结构 三、线性非齐次微分方程解的结构 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于平衡状态, 例 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 如图建立坐标系. 设时刻 t 物体位移为x = x(t). 1. 弹性恢复力 物体所受的力有: 成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程. 2. 阻力 据牛顿第二定律得 则得有阻尼自由振动方程: 二阶线性微分方程 二阶线性齐次微分方程; 二阶线性非齐次微分方程. n 阶线性微分方程的一般形式为 n 阶线性齐次微分方程; n 阶线性非齐次微分方程. 复习: 一阶线性方程 通解: 非齐次方程特解 齐次方程通解Y 定理1 问题: 例:设 y1 为 (1) 的解 , 则 y2=2 y1 是 (1) 的解,但是 , y=C1 y1+C2 y2 不为 (1) 的通解 . (解得叠加原理) 为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关 与线性无关概念. 证 代入方程左边, 得 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如: 在(?? , ?? )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如: 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都线性无关. 若存在不全为 0 的常数 线性相关 存在不全为 0 的 使 线性无关 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 例如 推论 是 n 阶线性齐次微分方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3 则 是非齐次方程的通解 . 证 将 代入方程①左端, 得 ② ① 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 因而 ② 是通解 . 例2 设 是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解,试用 表示方程的通解. 例3已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶线性齐次 方程的解 , 求该方程 . 解 例4 解 (1) 由题设可得: 解此方程组,得 (2) 原方程为 由解的结构定理得方程的通解为 (非齐次方程之解的叠加原理) n 阶线性微分方程 二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广: 主要内容 2、二阶线性微分方程解的结构定理 1、函数的线性相关与线性无关; 思考题 解 都是微分方程的解, 是对应齐次方程的解, 常数 所求通解为 * * 定理2 如果与是方程(1)的两个线性无关的特解, 那么就是方程(1)的通解.
定理4 设非齐次方程(2)的右端是几个函
数之和, 如
而与分别是方程,
的特解, 那么就是原方程的特解.
已知,,都是微分方程
的解,求此方程所对应齐次方程的通解.
验证及都是方程
的解,并写出该方程的通
解 .
证明下列函数是相应的微分方程的通解:
1、是方程
的通解;
2、是
方程的通解 .
三、已知是齐次线性方程
的一个解,求此方程
的通解 .
四、已知齐次线性方程的通解为
,求非齐次线性方程
的通解 .
一、.
三、.
四、.
定理 设是n阶非齐次线性方程
的一个特解, 是与其对应的齐次方程的
通解, 那么是 n 阶非齐次线性微分
方程的通解.
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