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矩阵分析(第一章)要点
矩阵分析 主讲教师:魏丰 例 4 实数域 上的线性空间空间 中,函数组 与函数组 都是线性相关的函数组。 线性空间的基底,维数与坐标变换 定义 设 为数域 上的一个线性空间。如果在 中存在 个线性无关的向量 使得 中的任意一个向量 都可以由 线性表出 则称 为 的一个基底; 为向量 在基底 下的坐标。此时我们 称 为一个 维线性空间,记为 例 1 实数域 上的线性空间 中向量组 与向量组 都是 的基。 是3维线性空间。 例 2 实数域 上的线性空间 中的向量组 与向量组 都是 的基。 是4维线性空间。 例 3 实数域 上的线性空间 中的向量组 与向量组 都是 的基底。 的维数为 注意: 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一,但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前,我们主要讨论有限维的线性空间。 例 4 在4维线性空间 中,向量组 与向量组 是其两组基,求向量 在这两组基下的 坐标。 解:设向量 在第一组基下的坐标为 于是可得 解得 同样可解出在第二组基下的坐标为 由此可以看出:一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。 基变换与坐标变换 设 (旧的)与 (新的) 是 维线性空间 的两组基底,它们之间的关系为 将上式矩阵化可以得到下面的关系式: 称 阶方阵 是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵,那么上式可以写成 定理:过渡矩阵 是可逆的。 任取 ,设 在两组基下的坐标分别为 与 ,那么我们有: 称上式为坐标变换公式。 例 1 在4维线性空间 中,向量组 与向量组 为其两组基,求从基 到基 的过渡矩阵, 并求向量 在这两组基下的坐标。 解:容易计算出下面的矩阵表达式 向量 第一组基下的坐标为 利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为 例 2 教材13页例1.2.6 线性空间的子空间 定义 设 为数域 上的一个 维线性空间, 为 的一个非空子集合,如果对于任意的 以及任意的
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